Fraktali su poznati skoro jedan vek, dobro su proučavani i imaju brojne primene u životu. Ovaj fenomen se temelji na vrlo jednostavnoj ideji: beskonačan broj figura u ljepoti i raznolikosti može se dobiti iz relativno jednostavnih struktura koristeći samo dvije operacije - kopiranje i skaliranje.

Ovaj koncept nema strogu definiciju. Dakle, riječ "fraktal" nije matematički pojam. Ovo je obično naziv geometrijske figure koja zadovoljava jedno ili više od sljedećih svojstava:

• ima složenu strukturu pri svakom povećanju;
• je (približno) sebi sličan;
• ima frakcijsku Hausdorffovu (fraktalnu) dimenziju, koja je veća od topološke;
• mogu se izgraditi rekurzivnim procedurama.

Na prelazu iz 19. u 20. vek, proučavanje fraktala bilo je više epizodično nego sistematično, jer su raniji matematičari uglavnom proučavali „dobre“ objekte koji su se mogli proučavati korišćenjem opštih metoda i teorija. Godine 1872. njemački matematičar Karl Weierstrass napravio je primjer kontinuirana funkcija, što se nigdje ne može razlikovati. Međutim, njegova konstrukcija je bila potpuno apstraktna i teško razumljiva. Stoga je 1904. godine Šveđanin Helge von Koch osmislio kontinuiranu krivu koja nema nigdje tangente i prilično ju je jednostavno nacrtati. Ispostavilo se da ima svojstva fraktala. Jedna varijacija ove krive se zove Koch pahulja.

Ideje o samosličnosti figura preuzeo je Francuz Paul Pierre Levy, budući mentor Benoita Mandelbrota. Godine 1938. objavljen je njegov članak “Ravninske i prostorne krive i površine koje se sastoje od dijelova sličnih cjelini” u kojem je opisan još jedan fraktal - Lévyjeva C-kriva. Svi gore navedeni fraktali mogu se uslovno pripisati jednoj klasi konstruktivnih (geometrijskih) fraktala.

Druga klasa su dinamički (algebarski) fraktali, koji uključuju Mandelbrotov skup. Prve studije u ovom pravcu datiraju s početka 20. stoljeća i povezuju se s imenima francuskih matematičara Gastona Julia i Pierre Fatoua. Godine 1918. objavljeno je gotovo dvije stotine stranica Julijinog rada, posvećenih iteracijama složenih racionalnih funkcija, u kojima su opisani Julijini skupovi - cijela porodica fraktala usko povezana sa Mandelbrotovim skupom. Ovo djelo je nagrađeno nagradom Francuske akademije, ali nije sadržavalo niti jednu ilustraciju, pa je bilo nemoguće cijeniti ljepotu otkrivenih predmeta. Uprkos činjenici da je ovo djelo učinilo Juliju poznatom među matematičarima tog vremena, brzo je zaboravljeno.

Samo pola vijeka kasnije, s pojavom kompjutera, pažnja se okrenula radu Julije i Fatoua: upravo su oni učinili vidljivim bogatstvo i ljepotu svijeta fraktala. Na kraju krajeva, Fatou nikada nije mogao pogledati slike koje danas poznajemo kao slike Mandelbrotovog skupa, jer se potreban broj proračuna ne može izvršiti ručno. Prva osoba koja je koristila kompjuter za ovo bio je Benoit Mandelbrot.

Godine 1982. objavljena je Mandelbrotova knjiga "Fraktalna geometrija prirode" u kojoj je autor prikupio i sistematizovao gotovo sve podatke o fraktalima koji su bili dostupni u to vrijeme i prikazao ih na jednostavan i pristupačan način. Mandelbrot je glavni naglasak u svom izlaganju stavio ne na teške formule i matematičke konstrukcije, već na geometrijsku intuiciju čitatelja. Zahvaljujući kompjuterski generisanim ilustracijama i istorijskim pričama, kojima je autor vešto razblažio naučnu komponentu monografije, knjiga je postala bestseler, a fraktali poznati široj javnosti. Njihov uspjeh među nematematičarima uvelike je rezultat činjenice da se uz pomoć vrlo jednostavnih konstrukcija i formula koje čak i srednjoškolac može razumjeti, dobijaju slike zadivljujuće složenosti i ljepote. Kada su personalni računari postali dovoljno moćni, pojavio se čak i čitav trend u umetnosti - fraktalno slikanje, a to je mogao da uradi skoro svaki vlasnik računara. Sada na Internetu možete lako pronaći mnoge stranice posvećene ovoj temi.

Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, čvrsto su se ustalili u svakodnevnom životu matematičara i programera od sredine 80-ih. Riječ fraktal je izvedena od latinskog fractus i u prijevodu znači sastoji se od fragmenata. Predložio ga je Benoit Mandelbrot 1975. da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture koje je proučavao. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige 'Fraktalna geometrija prirode' 1977. godine. Njegovi radovi su koristili naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ali samo u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihova djela u jedan sistem.
Uloga fraktala u kompjuterskoj grafici danas je prilično velika. Oni priskaču u pomoć, na primjer, kada je potrebno, uz pomoć nekoliko koeficijenata, definirati linije i površine vrlo složenog oblika. Sa stanovišta kompjuterske grafike, fraktalna geometrija je neophodna za generisanje veštačkih oblaka, planina i površine mora. U stvari, pronađen je način da se lako predstave složeni neeuklidski objekti, čije su slike vrlo slične prirodnim.
Jedno od glavnih svojstava fraktala je samosličnost. U samom jednostavan slučaj mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Definicija fraktala koju je dao Mandelbrot je sljedeća: "Fraktal je struktura koja se sastoji od dijelova koji su u nekom smislu slični cjelini."

Postoji veliki broj matematički objekti koji se nazivaju fraktali (trougao Sierpinskog, Kochova pahulja, Peano kriva, Mandelbrotov skup i Lorencovi atraktori). Fraktali sa velikom preciznošću opisuju mnoge fizičke pojave i formacije stvarnog svijeta: planine, oblake, turbulentne (vorteksne) struje, korijenje, grane i lišće drveća, krvne žile, što je daleko od toga da odgovara jednostavnim geometrijskim oblicima. Benoit Mandelbrot je prvi put govorio o fraktalnoj prirodi našeg svijeta u svom temeljnom djelu "Fraktalna geometrija prirode".
Pojam fraktal uveo je Benoit Mandelbrot 1977. godine u svom fundamentalnom djelu "Fraktali, forma, haos i dimenzija". Prema Mandelbrotu, riječ fraktal dolazi od latinskih riječi fractus - frakcijski i frangere - slomiti, što odražava suštinu fraktala kao "razlomljenog", nepravilnog skupa.

Klasifikacija fraktala.

Da bismo predstavili čitav niz fraktala, zgodno je pribjeći njihovoj općeprihvaćenoj klasifikaciji. Postoje tri klase fraktala.

1. Geometrijski fraktali.

Fraktali ove klase su najočigledniji. U dvodimenzionalnom slučaju, oni se dobijaju pomoću polilinije (ili površine u trodimenzionalnom slučaju) koja se naziva generator. U jednom koraku algoritma, svaki od segmenata koji čine izlomljenu liniju zamjenjuje se generatorom izlomljenih linija u odgovarajućoj skali. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se geometrijski fraktal.

Razmotrite, na primjer, jedan od takvih fraktalnih objekata - Kochovu trijadnu krivu.

Konstrukcija trijadne Kochove krive.

Uzmimo pravi segment dužine 1. Nazovimo ga sjeme. Podijelimo sjeme na tri jednaka dijela dužine 1/3, odbacimo srednji dio i zamijenimo ga isprekidanom linijom od dvije karike dužine 1/3.

Dobijamo izlomljenu liniju, koja se sastoji od 4 karike ukupne dužine 4/3, - tzv. prva generacija.

Da bi se prešlo na sljedeću generaciju Kochove krive, potrebno je odbaciti i zamijeniti srednji dio svake karike. Shodno tome, dužina druge generacije će biti 16/9, treće - 64/27. ako nastavite ovaj proces do beskonačnosti, onda će rezultat biti trijadna Kochova kriva.

Razmotrimo sada svetu trijadnu Kochovu krivu i otkrijmo zašto se fraktali nazivaju "čudovištima".

Prvo, ova kriva nema dužinu – kao što smo vidjeli, sa brojem generacija, njena dužina teži beskonačnosti.

Drugo, nemoguće je konstruisati tangentu na ovu krivu - svaka od njenih tačaka je prevojna tačka u kojoj derivacija ne postoji - ova kriva nije glatka.

Dužina i glatkoća su osnovna svojstva krivih, koje proučavaju i Euklidova geometrija i geometrija Lobačevskog i Rimanna. Pokazalo se da su tradicionalne metode geometrijske analize neprimjenjive na trijadnu Kochovu krivu, pa se Kochova kriva pokazala kao čudovište - "čudovište" među glatkim stanovnicima tradicionalnih geometrija.

Izgradnja "zmaja" Harter-Hateway.

Da biste dobili još jedan fraktalni objekt, morate promijeniti pravila konstrukcije. Neka su generirajući element dva jednaka segmenta povezana pod pravim uglom. U nultoj generaciji, segment jedinice zamjenjujemo ovim generirajućim elementom tako da ugao bude na vrhu. Možemo reći da takvom zamjenom dolazi do pomaka u sredini veze. Prilikom konstruisanja narednih generacija poštuje se pravilo: prva karika s lijeve strane zamjenjuje se generirajućim elementom tako da se sredina karike pomjera lijevo od smjera kretanja, a pri zamjeni sljedećih karika, pravci pomaka sredina segmenata moraju se mijenjati. Na slici je prikazano nekoliko prvih generacija i 11. generacija krivulje izgrađene prema gore opisanom principu. Kriva sa n koja teži beskonačnosti naziva se Harter-Hateway zmaj.
U kompjuterskoj grafici upotreba geometrijskih fraktala neophodna je prilikom dobijanja slika drveća i grmlja. Dvodimenzionalni geometrijski fraktali se koriste za kreiranje trodimenzionalnih tekstura (uzoraka na površini objekta).

2. Algebarski fraktali

Ovo je najveća grupa fraktala. Dobivaju se korištenjem nelinearnih procesa u n-dimenzionalnim prostorima. Dvodimenzionalni procesi su najviše proučavani. Tumačeći nelinearni iterativni proces kao diskretni dinamički sistem, može se koristiti terminologija teorije ovih sistema: fazni portret, stacionarni proces, atraktor itd.
Poznato je da nelinearni dinamički sistemi imaju nekoliko stabilnih stanja. Stanje u kojem se dinamički sistem nalazi nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog početnog stanja. Dakle, svako stabilno stanje (ili, kako kažu, atraktor) ima određeno područje početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u razmatrana konačna stanja. Tako je fazni prostor sistema podijeljen na područja privlačenja atraktora. Ako je fazni prostor dvodimenzionalan, onda se bojanjem privlačnih područja različitim bojama može dobiti fazni portret u boji ovog sistema (iterativni proces). Promjenom algoritma odabira boja, možete dobiti složene fraktalne uzorke s otmjenim višebojnim uzorcima. Iznenađenje za matematičare bila je sposobnost generiranja vrlo složenih netrivijalnih struktura korištenjem primitivnih algoritama.

Mandelbrotov set.

Kao primjer, razmotrite Mandelbrotov skup. Algoritam za njegovu konstrukciju je prilično jednostavan i baziran je na jednostavnom iterativnom izrazu: Z = Z[i] * Z[i] + C, gdje Zi i C su kompleksne varijable. Iteracije se izvode za svaku početnu tačku iz pravokutnog ili kvadratnog područja - podskupa kompleksne ravni. Iterativni proces se nastavlja do Z[i] neće ići dalje od kruga poluprečnika 2, čije središte leži u tački (0,0), (to znači da je atraktor dinamičkog sistema u beskonačnosti), ili nakon dovoljno velikog broja iteracija (npr. , 200-500) Z[i] konvergira u neku tačku na kružnici. U zavisnosti od broja iteracija tokom kojih Z[i] ostaje unutar kruga, možete podesiti boju tačke C(ako Z[i] ostaje unutar kruga za dovoljno veliki broj iteracija, proces iteracije se zaustavlja i ova rasterska tačka je obojena crnom bojom).

3. Stohastički fraktali

Druga dobro poznata klasa fraktala su stohastički fraktali, koji se dobijaju ako se bilo koji od njegovih parametara nasumično promijeni u iterativnom procesu. To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrično drveće, razvedene obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali koriste se u modeliranju terena i površine mora.
Postoje i druge klasifikacije fraktala, na primjer, podjela fraktala na determinističke (algebarske i geometrijske) i nedeterminističke (stohastičke).

O upotrebi fraktala

Prije svega, fraktali su područje zadivljujuće matematičke umjetnosti, kada se uz pomoć najjednostavnijih formula i algoritama dobijaju slike izuzetne ljepote i složenosti! U konturama izgrađenih slika često se naslućuju lišće, drveće i cvijeće.

Jedna od najmoćnijih primjena fraktala leži u kompjuterskoj grafici. Prvo, to je fraktalna kompresija slika, a drugo, izgradnja pejzaža, drveća, biljaka i stvaranje fraktalnih tekstura. Moderna fizika i mehanika tek počinju proučavati ponašanje fraktalnih objekata. I, naravno, fraktali se direktno primjenjuju u samoj matematici.
Prednosti algoritama fraktalne kompresije slike su vrlo mala veličina upakovane datoteke i kratko vrijeme oporavka slike. Fraktalno upakovane slike mogu se skalirati bez pojave pikselizacije. Ali proces kompresije traje dugo i ponekad traje satima. Algoritam fraktalnog pakovanja sa gubicima omogućava vam da postavite nivo kompresije, slično jpeg formatu. Algoritam se temelji na traženju velikih dijelova slike sličnih nekim malim dijelovima. I samo koji komad je sličan kojem se upisuje u izlaznu datoteku. Prilikom sažimanja obično se koristi kvadratna mreža (komadi su kvadrati), što dovodi do blagog ugla prilikom vraćanja slike; heksagonalna mreža nema takvog nedostatka.
Iterated je razvio novi format slike, "Sting", koji kombinuje fraktalnu i "talasnu" (kao što je jpeg) kompresiju bez gubitaka. Novi format omogućava kreiranje slika s mogućnošću naknadnog visokokvalitetnog skaliranja, a volumen grafičkih datoteka je 15-20% volumena nekomprimiranih slika.
Sklonost fraktala da izgledaju kao planine, cvijeće i drveće iskorištavaju neki grafički urednici, na primjer, fraktalni oblaci iz 3D studija MAX, fraktalne planine u World Builderu. Fraktalna stabla, planine i cijeli pejzaži dati su jednostavnim formulama, lako se programiraju i ne raspadaju se u zasebne trokute i kocke kada im se priđe.
Ne možete zanemariti upotrebu fraktala u samoj matematici. U teoriji skupova, Cantorov skup dokazuje postojanje savršenih nigdje gustih skupova; u teoriji mjera, samoafina funkcija "Kantorove ljestve" je dobar primjer funkcije raspodjele singularne mjere.
U mehanici i fizici, fraktali se koriste zbog njihovog jedinstvenog svojstva da ponavljaju obrise mnogih prirodnih objekata. Fraktali vam omogućavaju da aproksimirate drveće, planinske površine i pukotine sa većom preciznošću od aproksimacija sa segmentima linija ili poligonima (sa istom količinom pohranjenih podataka). Fraktalni modeli, kao i prirodni objekti, imaju "hrapavost", a ovo svojstvo je očuvano pri proizvoljno velikom povećanju modela. Prisustvo uniformne mjere na fraktalima omogućava primjenu integracije, teorije potencijala, da se oni koriste umjesto standardnih objekata u već proučavanim jednačinama.
Fraktalnim pristupom, haos prestaje biti plavi nered i dobija finu strukturu. Fraktalna nauka je još uvek veoma mlada i pred njom je velika budućnost. Ljepota fraktala još nije iscrpljena i još će nam dati mnoga remek-djela – ona koja oduševljavaju oko, i ona koja donose istinsko zadovoljstvo umu.

O izgradnji fraktala

Metoda uzastopnih aproksimacija

Gledajući ovu sliku, nije teško razumjeti kako se može izgraditi samoslični fraktal (u ovom slučaju piramida Sierpinski). Trebamo uzeti običnu piramidu (tetraedar), a zatim izrezati njenu sredinu (oktaedar), kao rezultat toga dobijamo četiri male piramide. Sa svakim od njih izvodimo istu operaciju itd. Ovo je pomalo naivno, ali ilustrativno objašnjenje.

Razmotrimo suštinu metode strože. Neka postoji neki IFS sistem, tj. sistem za mapiranje kontrakcija S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n i=1,..,4). Zatim biramo neki kompaktni skup A 1 u R n (u našem slučaju biramo tetraedar). I indukcijom određujemo niz skupova A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Poznato je da skupovi A k sa povećanjem k aproksimiraju traženi atraktor sistema S.

Imajte na umu da je svaka od ovih iteracija atraktor rekurentni sistem iteriranih funkcija(engleski izraz DigraphIFS, RIFS i takođe IFS usmjeren na graf) i stoga ih je lako izgraditi s našim programom.

Konstrukcija po tačkama ili probabilistički metod

Ovo je najlakši način za implementaciju na računaru. Radi jednostavnosti, razmotrite slučaj ravnog samoafinalnog skupa. Pa neka (S

) je neki sistem afinih kontrakcija. Mappings S

predstavljen kao: S

Fiksna matrica veličine 2x2 i o

Dvodimenzionalni vektorski stupac.

• Uzmimo fiksnu tačku prvog preslikavanja S 1 kao početnu tačku:
  x:=o1;
  Ovdje koristimo činjenicu da sve fiksne tačke kontrakcije S 1 ,..,S m pripadaju fraktalu. Proizvoljna tačka se može odabrati kao početna tačka i niz tačaka generisanih time će se smanjiti na fraktal, ali će se tada na ekranu pojaviti nekoliko dodatnih tačaka.
• Zabilježite trenutnu tačku x=(x 1 ,x 2) na ekranu:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Nasumično biramo broj j od 1 do m i ponovo izračunavamo koordinate tačke x:
  j:=Random(m)+1;
  x:=Sj (x);
• Idemo na korak 2, ili, ako smo uradili dovoljno veliki broj iteracija, onda stajemo.

Bilješka. Ako su koeficijenti kompresije preslikavanja S i različiti, tada će fraktal biti neravnomjerno ispunjen tačkama. Ako su preslikavanja S i sličnosti, to se može izbjeći blagim kompliciranjem algoritma. Da biste to učinili, u trećem koraku algoritma, broj j od 1 do m mora biti izabran sa vjerovatnoćama p 1 =r 1 s ,..,pm =rms , gdje ri označavaju koeficijente kontrakcije preslikavanja S i , a broj s (koji se naziva dimenzija sličnosti) nalazi se iz jednačine r 1 s +...+rms =1. Rješenje ove jednadžbe može se naći, na primjer, Newtonovom metodom.

O fraktalima i njihovim algoritmima

Fraktal dolazi od latinskog prideva "fractus", a u prijevodu znači koji se sastoji od fragmenata, a odgovarajući latinski glagol "frangere" znači lomiti, odnosno stvarati nepravilne fragmente. Koncepti fraktalne i fraktalne geometrije, koji su se pojavili kasnih 70-ih, čvrsto su se ustalili u svakodnevnom životu matematičara i programera od sredine 80-ih. Termin je predložio Benoit Mandelbrot 1975. godine da se odnosi na nepravilne, ali sebi slične strukture koje je proučavao. Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje sa objavljivanjem 1977. Mandelbrotove knjige "Fraktalna geometrija prirode" - "Fraktalna geometrija prirode". U svojim radovima koristili su naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istoj oblasti (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorf).

Podešavanja

Dozvolite mi da izvršim neke prilagodbe algoritama predloženim u knjizi H.-O. Paytgen i P.H. Richter "Ljepota fraktala" M. 1993, čisto da iskorijene greške u kucanju i olakšaju razumijevanje procesa, jer mi je nakon proučavanja mnogo toga ostalo misterija. Nažalost, ovi "razumljivi" i "jednostavni" algoritmi vode potresan način života.

Konstrukcija fraktala temelji se na određenoj nelinearnoj funkciji složenog procesa s povratnom spregom z = z 2 + c budući da su z i c kompleksni brojevi, zatim z = x + iy, c = p + iq, potrebno je da ga razložimo na x i y kako bismo prešli na realniju ravan običnog čovjeka:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Ravan koja se sastoji od svih parova (x, y) može se smatrati kao sa fiksnim vrijednostima p i q, kao i za dinamičke. U prvom slučaju, sortiranje svih tačaka (x, y) ravnine prema zakonu i njihovo bojenje u zavisnosti od broja ponavljanja funkcije potrebnog za izlazak iz iterativnog procesa ili ne bojenje (crno) kada je dozvoljeni maksimum ponavljanja se povećavaju, dobijamo prikaz Julia seta. Ako, naprotiv, odredimo početni par vrijednosti (x, y) i pratimo njegovu kolorističku sudbinu s dinamički promjenjivim vrijednostima parametara p i q, tada ćemo dobiti slike koje se nazivaju Mandelbrot skupovi.

O pitanju fraktalnih algoritama bojanja.

Obično je tijelo kompleta predstavljeno kao crno polje, iako je očigledno da se crna boja može zamijeniti bilo kojom drugom, ali to je također nezanimljiv rezultat. Dobiti sliku skupa obojenog u sve boje je zadatak koji se ne može riješiti cikličkim operacijama, jer broj iteracija koje formiraju tijelo skupa jednak je maksimalnom mogućem i uvijek isti. Moguće je obojati skup u različite boje koristeći rezultat provjere izlaznog uvjeta iz petlje (z_magnitude) kao broj boje, ili sličan njemu, ali uz druge matematičke operacije.

Primjena "fraktalnog mikroskopa"

demonstrirati granične fenomene.

Atraktori su centri koji vode borbu za dominaciju na planu. Između atraktora postoji granica koja predstavlja vrtložni uzorak. Povećanjem skale razmatranja unutar granica skupa, mogu se dobiti netrivijalni obrasci koji odražavaju stanje determinističkog haosa – uobičajenu pojavu u prirodnom svijetu.

Objekti koje proučavaju geografi čine sistem sa veoma složeno organizovanim granicama, u vezi sa kojima njihova implementacija postaje težak praktični zadatak. Prirodni kompleksi imaju jezgra tipičnosti koja djeluju kao atraktori koji gube moć utjecaja na teritoriju kako se ona udaljava.

Koristeći fraktalni mikroskop za skupove Mandelbrot i Julia, može se formirati ideja o graničnim procesima i pojavama koje su podjednako složene bez obzira na skalu razmatranja i tako pripremiti percepciju stručnjaka za susret sa dinamičnim i naizgled haotičnim u prostoru i vremenu prirodni objekat, za razumevanje prirode fraktalne geometrije. Raznobojne boje i fraktalna muzika sigurno će ostaviti dubok trag u glavama učenika.

Hiljade publikacija i ogromni internetski resursi posvećeni su fraktalima, međutim, za mnoge stručnjake daleko od informatike, ovaj se pojam čini potpuno novim. Fraktali, kao objekti od interesa za stručnjake u različitim oblastima znanja, trebali bi dobiti svoje pravo mjesto u kursu informatike.

Primjeri

SIERPINSKI GRID

Ovo je jedan od fraktala sa kojima je Mandelbrot eksperimentisao kada je razvijao koncepte fraktalnih dimenzija i iteracija. Trokuti nastali spajanjem sredina većeg trougla se izrezuju iz glavnog trougla da bi se formirao trougao, sa više rupa. U ovom slučaju, pokretač je veliki trokut, a predložak je operacija rezanja trokuta sličnih većem. Također možete dobiti 3D verziju trougla korištenjem običnog tetraedra i izrezivanja manjih tetraedara. Dimenzija takvog fraktala je ln3/ln2 = 1,584962501. Za dobijanje Sierpinski tepih, uzmite kvadrat, podijelite ga na devet kvadrata i izrežite srednji. Isto ćemo učiniti i sa ostalim, manjim kvadratima. Na kraju se formira ravna fraktalna mreža koja nema površinu, ali ima beskonačne veze. U svojoj prostornoj formi, spužva Sierpinski se transformiše u sistem niza oblika, u kojima se svaki prolazni element stalno zamenjuje svojom vrstom. Ova struktura je vrlo slična dijelu koštanog tkiva. Jednog dana će takve strukture koje se ponavljaju postati element građevinskih struktura. Njihova statika i dinamika, smatra Mandelbrot, zaslužuju pažljivo proučavanje.

KOCH CURVE

Kochova kriva je jedan od najtipičnijih determinističkih fraktala. Izumio ga je u devetnaestom veku nemački matematičar po imenu Helge fon Koh, koji je, proučavajući rad Georga Kontora i Karla Vajerštrasea, naišao na opise nekih čudnih krivih neobičnog ponašanja. Inicijator - direktna linija. Generator je jednakostranični trokut čije su stranice jednake trećini dužine većeg segmenta. Ovi trokuti se dodaju u sredinu svakog segmenta iznova i iznova. U svom istraživanju, Mandelbrot je mnogo eksperimentisao sa Kochovim krivuljama i dobio figure kao što su Kochova ostrva, Kohovi križevi, Kochove pahulje, pa čak i trodimenzionalne prikaze Kochove krive koristeći tetraedar i dodajući manje tetraedre na svako njegovo lice. Kochova kriva ima dimenziju ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Ovo NIJE Mandelbrotov set koji često viđate. Mandelbrotov skup je baziran na nelinearnim jednačinama i složen je fraktal. Ovo je također varijanta Kochove krivulje, uprkos činjenici da ovaj objekt ne izgleda tako. Inicijator i generator se također razlikuju od onih koji se koriste za kreiranje fraktala po principu Kochove krive, ali ideja ostaje ista. Umjesto spajanja jednakostraničnih trokuta na segment krive, kvadrati se pričvršćuju na kvadrat. Zbog činjenice da ovaj fraktal zauzima tačno polovinu dodijeljenog prostora na svakoj iteraciji, ima jednostavnu fraktalnu dimenziju 3/2 = 1,5.

DAREROV PENTAGON

Fraktal izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. U stvari, formira se korištenjem pentagona kao inicijatora i jednakokraki trouglovi, omjer veće strane prema manjoj u kojoj je tačno jednak tzv. zlatnom omjeru (1,618033989 ili 1/(2cos72)) kao generator. Ovi trokuti su izrezani iz sredine svakog petougla, što rezultira oblikom koji izgleda kao 5 malih peterokuta zalijepljenih na jedan veliki. Varijanta ovog fraktala može se dobiti korištenjem šesterokuta kao inicijatora. Ovaj fraktal se zove Davidova zvijezda i prilično je sličan heksagonalnoj verziji Kochove pahulje. Fraktalna dimenzija Darerovog pentagona je ln6/ln(1+g), gdje je g omjer dužine veće stranice trougla i dužine manje stranice. U ovom slučaju, g je zlatni omjer, tako da je fraktalna dimenzija približno 1,86171596. Fraktalna dimenzija Davidove zvijezde je ln6/ln3 ili 1,630929754.

Kompleksni fraktali

U stvari, ako zumirate malo područje bilo kojeg složenog fraktala, a zatim učinite isto na maloj površini tog područja, dva povećanja će se značajno razlikovati jedno od drugog. Dvije slike će biti vrlo slične u detaljima, ali neće biti potpuno identične.

Slika 1. Aproksimacija Mandelbrotovog skupa

Uporedite, na primjer, slike Mandelbrotovog skupa prikazane ovdje, od kojih je jedna dobivena povećanjem neke površine druge. Kao što vidite, oni apsolutno nisu identični, iako na oba vidimo crni krug, iz kojeg plameni pipci idu u različitim smjerovima. Ovi elementi se neograničeno ponavljaju u Mandelbrotovom skupu u opadajućoj proporciji.

Deterministički fraktali su linearni, dok kompleksni fraktali nisu. Budući da su nelinearni, ovi fraktali su generirani onim što je Mandelbrot nazvao nelinearnim algebarske jednačine. Dobar primjer je proces Zn+1=ZnÍ + C, koji je jednadžba koja se koristi za konstruiranje Mandelbrot i Julia skupova drugog stepena. Rješavanje ovih matematičkih jednadžbi uključuje kompleksne i imaginarne brojeve. Kada se jednačina grafički tumači u kompleksnoj ravni, rezultat je čudna figura u kojoj se prave linije pretvaraju u krive, efekti samosličnosti se pojavljuju na različitim nivoima skale, iako ne bez deformacija. Istovremeno, cijela slika u cjelini je nepredvidiva i vrlo haotična.

Kao što možete vidjeti gledajući slike, složeni fraktali su zaista vrlo složeni i nemoguće ih je stvoriti bez pomoći kompjutera. Da bi dobio živopisne rezultate, ovaj računar mora imati moćan matematički koprocesor i monitor visoke rezolucije. Za razliku od determinističkih fraktala, složeni fraktali se ne izračunavaju u 5-10 iteracija. Gotovo svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal. Tokom matematičke obrade, svaka tačka se tretira kao poseban obrazac. Svaka tačka odgovara određenoj vrijednosti. Jednačina je ugrađena za svaku tačku i izvodi se, na primjer, 1000 iteracija. Da bi se dobila relativno neiskrivljena slika u vremenskom intervalu prihvatljivom za kućne računare, moguće je izvršiti 250 iteracija za jednu tačku.

Većina fraktala koje danas vidimo su prelijepo obojene. Možda su fraktalne slike dobile tako veliku estetsku vrijednost upravo zbog svojih shema boja. Nakon što je jednačina izračunata, računar analizira rezultate. Ako rezultati ostanu stabilni ili fluktuiraju oko određene vrijednosti, tačka će obično postati crna. Ako vrijednost na jednom ili drugom koraku teži beskonačnosti, tačka je obojena drugom bojom, možda plavom ili crvenom. Tokom ovog procesa, kompjuter dodeljuje boje svim brzinama kretanja.

Obično su tačke koje se brzo kreću obojene crvenom bojom, dok su one sporije žute i tako dalje. Tamne tačke su vjerovatno najstabilnije.

Kompleksni fraktali se razlikuju od determinističkih fraktala po tome što su beskonačno složeni, ali se ipak mogu generisati vrlo jednostavnom formulom. Determinističkim fraktalima nisu potrebne formule ili jednadžbe. Samo uzmite malo papira za crtanje i možete napraviti sito Sierpinski do 3 ili 4 iteracije bez ikakvih poteškoća. Pokušajte to učiniti s puno Julije! Lakše je izmjeriti dužinu obale Engleske!

MANDERBROT SET

Slika 2. Mandelbrotov set

Mandelbrot i Julia skupovi su vjerovatno dva najčešća među složenim fraktalima. Mogu se naći u mnogim naučnim časopisima, naslovnicama knjiga, razglednicama i čuvarima ekrana računara. Mandelbrotov set, koji je napravio Benoit Mandelbrot, vjerovatno je prva asocijacija koju ljudi imaju kada čuju riječ fraktal. Ovaj fraktal, koji podsjeća na kartu sa svijetlećim stablom i krugovima pričvršćenim za njega, generiran je jednostavnom formulom Zn+1=Zna+C, gdje su Z i C kompleksni brojevi, a a pozitivan broj.

Najčešći Mandelbrotov skup je Mandelbrotov skup 2. stepena, tj. a=2. Činjenica da Mandelbrotov skup nije samo Zn+1=ZnÍ+C, već fraktal čiji eksponent u formuli može biti bilo koji pozitivan broj zaveo mnoge. Na ovoj stranici vidite primjer Mandelbrotovog skupa za različita značenja indikator a.
Slika 3. Pojava mjehurića na a=3,5

Proces Z=Z*tg(Z+C) je takođe popularan. Zahvaljujući uključivanju tangentne funkcije, dobija se Mandelbrotov skup, okružen područjem koje liči na jabuku. Kada se koristi kosinusna funkcija, dobijaju se efekti zračnih mjehurića. Ukratko, postoji beskonačan broj načina za podešavanje Mandelbrotovog skupa kako bi se dobio drugačiji prelijepe slike.

MULTIPLE JULIA

Iznenađujuće, Julijini skupovi se formiraju prema istoj formuli kao i Mandelbrotov skup. Julia skup je izumio francuski matematičar Gaston Julia, po kome je skup i dobio ime. Prvo pitanje koje se nameće nakon vizuelnog upoznavanja sa Mandelbrotovim i Julijinim skupovima je "ako su oba fraktala generisana istom formulom, zašto su toliko različiti?" Prvo pogledajte slike Julia seta. Čudno, ali postoje različite vrste Julia postavlja. Prilikom crtanja fraktala koristeći različite početne točke (za početak procesa iteracije), generiraju se različite slike. Ovo se odnosi samo na Julia set.

Slika 4. Julia set

Iako se ne može vidjeti na slici, Mandelbrot fraktal je zapravo gomila Julia fraktala povezanih zajedno. Svaka tačka (ili koordinata) Mandelbrotovog skupa odgovara Julia fraktalu. Julia skupovi se mogu generirati koristeći ove tačke kao početne vrijednosti u jednačini Z=ZI+C. Ali to ne znači da ako odaberete tačku na Mandelbrotovom fraktalu i povećate je, možete dobiti Julia fraktal. Ove dvije tačke su identične, ali samo u matematičkom smislu. Ako uzmemo ovu tačku i izračunamo je prema ovoj formuli, možemo dobiti Julia fraktal koji odgovara određenoj tački Mandelbrotovog fraktala.

Kako je fraktal otkriven

Matematički oblici poznati kao fraktali pripadaju geniju eminentnog naučnika Benoita Mandelbrota. Veći dio svog života predavao je matematiku na Univerzitetu Yale u Sjedinjenim Državama. Godine 1977. - 1982. Mandelbrot je objavio naučne radove posvećene proučavanju "fraktalne geometrije" ili "geometrije prirode", u kojima je razbio naizgled nasumične matematičke forme na sastavne elemente, za koje se pokazalo da se ponavljaju pomnijim ispitivanjem, što je i pokazalo postojanje određenog uzorka za kopiranje. Mandelbrotovo otkriće imalo je značajne posljedice u razvoju fizike, astronomije i biologije.

fraktala u prirodi

U prirodi, mnogi objekti imaju fraktalna svojstva, na primjer: krošnje drveća, karfiol, oblaci, cirkulatorni i alveolarni sistemi ljudi i životinja, kristali, snježne pahulje, čiji se elementi poređaju u jednu složenu strukturu, obale (fraktalni koncept je omogućio naučnicima da izmjere obalu Britanskih ostrva i drugih do tada nemjerljivih objekata).

Razmotrite strukturu karfiola. Ako odrežete jedan od cvjetova, očito je da u rukama ostaje isti karfiol, samo manje veličine. Možemo nastaviti rezati iznova i iznova, čak i pod mikroskopom - ali sve što dobijemo su male kopije karfiola. U ovom najjednostavnijem slučaju, čak i mali dio fraktala sadrži informacije o cijeloj konačnoj strukturi.

Fraktali u digitalnoj tehnologiji

Fraktalna geometrija je dala neprocenjiv doprinos razvoju novih tehnologija u oblasti digitalne muzike, a takođe je omogućila kompresiju digitalnih slika. Postojeći algoritmi za kompresiju fraktalne slike zasnivaju se na principu pohranjivanja komprimirane slike umjesto same digitalne slike. Za komprimiranu sliku, glavna slika ostaje fiksna tačka. Microsoft je koristio jednu od varijanti ovog algoritma prilikom objavljivanja svoje enciklopedije, ali iz ovog ili onog razloga ova ideja nije bila široko korištena.

Matematička osnova fraktalne grafike je fraktalna geometrija, gde se metode za konstruisanje „slike-naslednika“ zasnivaju na principu nasleđivanja od originalnih „objekata-roditelja“. Sami koncepti fraktalne geometrije i fraktalne grafike pojavili su se tek prije 30-ak godina, ali su se već čvrsto ustalili u svakodnevnom životu kompjuterskih dizajnera i matematičara.

Osnovni koncepti fraktalne kompjuterske grafike su:

• Fraktalni trokut - fraktalni lik - fraktalni objekt (hijerarhija u opadajućem redoslijedu)
• fraktalna linija
• fraktalni sastav
• "Nadređeni objekat" i "Objekat naslednik"

Baš kao iu vektorskoj i 3D grafici, kreiranje fraktalnih slika je matematički izračunato. Glavna razlika od prve dvije vrste grafike je u tome što se fraktalna slika gradi prema jednadžbi ili sistemu jednačina - ništa više od formule ne treba biti pohranjeno u memoriji računala da bi se izvršili svi proračuni - i tako kompaktna matematička aparat je omogućio upotrebu ove ideje u kompjuterskoj grafici. Jednostavnom promjenom koeficijenata jednadžbe, lako možete dobiti potpuno drugačiju fraktalnu sliku - uz pomoć nekoliko matematičkih koeficijenata specificiraju se površine i linije vrlo složenog oblika, što vam omogućava da implementirate takve tehnike kompozicije kao što su horizontale i vertikale , simetrija i asimetrija, dijagonalni pravci i još mnogo toga.

Kako napraviti fraktal?

Tvorac fraktala istovremeno obavlja ulogu umjetnika, fotografa, vajara i naučnika-pronalazača. Koje su faze stvaranja crteža od nule?

• postavite oblik slike pomoću matematičke formule
• istražiti konvergenciju procesa i varirati njegove parametre
• odaberite vrstu slike
• odaberite paletu boja

Među fraktalima grafički uređivači i drugi grafički programi mogu se razlikovati:

• "Art Dabbler"
• "Slikar" (bez kompjutera nijedan umjetnik nikada neće ostvariti mogućnosti koje su postavili programeri samo uz pomoć olovke i olovke)
• "Adobe Photoshop" (ali ovdje se slika ne stvara od nule, već se, u pravilu, samo obrađuje)

Razmotrimo raspored proizvoljne fraktalne geometrijske figure. U njegovom središtu je najjednostavniji element - jednakostranični trokut, koji je dobio isto ime: "fraktal". Na srednjem segmentu stranica konstruišemo jednakostranične trouglove sa stranom jednakom jednoj trećini stranice originalnog fraktalnog trougla. Po istom principu grade se i manji trouglovi-nasljednici druge generacije - i tako u nedogled. Rezultirajući objekt naziva se "fraktalna figura", iz čijih sekvenci dobijamo "fraktalni sastav".

Izvor: http://www.iknowit.ru/

Fraktali i drevne mandale

Ovo je mandala za privlačenje novca. Za crvenu se kaže da radi kao magnet za novac. Podsjećaju li vas ukrašeni uzorci na nešto? Delovale su mi veoma poznate i počeo sam da proučavam mandale kao fraktal.

U principu, mandala je geometrijski simbol složene strukture, koji se tumači kao model svemira, „mapa kosmosa“. Evo prvog znaka fraktalnosti!

Vezene su na tkanini, slikane na pijesku, rađene puderima u boji i izrađene od metala, kamena i drveta. Njegov svijetli i očaravajući izgled čini ga prekrasnim ukrasom za podove, zidove i stropove hramova u Indiji. Na staroindijskom jeziku, "mandala" znači mistični krug odnosa između duhovne i materijalne energije Univerzuma, ili na drugi način cvijet života.

Hteo sam da napišem vrlo kratku recenziju fraktalnih mandala, sa minimumom pasusa, pokazujući da veza jasno postoji. Međutim, pokušavajući pronaći i povezati informacije o fraktalima i mandalama u jednu cjelinu, imao sam osjećaj kvantnog skoka u nepoznati prostor.

Ogromnost ove teme demonstriram citatom: „Ovakve fraktalne kompozicije ili mandale mogu se koristiti i u obliku slika, elemenata dizajna stambenih i radnih prostorija, nosivih amajlija, u obliku video kaseta, kompjuterskih programa... ” Općenito, tema za proučavanje fraktala je jednostavno ogromna.

Jedno mogu sa sigurnošću reći, svijet je mnogo raznovrsniji i bogatiji od jadnih ideja našeg uma o njemu.

Fraktalne morske životinje

Moja nagađanja o fraktalnim morskim životinjama nisu bila neutemeljena. Evo prvih predstavnika. Hobotnica je životinja morskog dna iz reda glavonožaca.

Gledajući ovu fotografiju, postala mi je očigledna fraktalna struktura njenog tijela i sisa na svih osam pipaka ove životinje. Odojci na pipcima odrasle hobotnice dosežu do 2000.

Zanimljiva je činjenica da hobotnica ima tri srca: jedno (glavno) tjera plavu krv po cijelom tijelu, a druga dva - škrge - potiskuju krv kroz škrge. Neke vrste ovih dubokomorskih fraktala su otrovne.

Prilagođavajući se i prerušavajući se svom okruženju, hobotnica ima vrlo korisnu sposobnost da mijenja boju.

Hobotnice se smatraju "najpametnijim" među svim beskičmenjacima. Prepoznaju ljude, naviknu se na one koji ih hrane. Bilo bi zanimljivo pogledati hobotnice koje se lako dresiraju, imaju dobro pamćenje i čak razlikuju geometrijske oblike. Ali starost ovih fraktalnih životinja nije duga - najviše 4 godine.

Čovjek koristi mastilo ovog živog fraktala i drugih glavonožaca. Umjetnici su traženi zbog njihove izdržljivosti i lijepog smeđeg tona. U mediteranskoj kuhinji hobotnica je izvor vitamina B3, B12, kalijuma, fosfora i selena. Ali mislim da ovi morski fraktali moraju biti sposobni kuhati kako bi uživali u njihovoj upotrebi kao hrani.

Usput, treba napomenuti da su hobotnice grabežljivci. Svojim fraktalnim pipcima drže plijen u obliku mekušaca, rakova i riba. Šteta ako tako lijepi mekušac postane hrana ovih morskih fraktala. Po meni je i tipičan predstavnik fraktala morskog carstva.

Ovo je srodnik puževa, golopodni golopodni mekušac Glaucus, zvani Glaucus, zvani Glaucus atlanticus, zvani Glaucilla marginata. Ovaj fraktal je neobičan i po tome što živi i kreće se ispod površine vode, držeći ga površinska napetost. Jer mekušac je hermafrodit, a nakon parenja oba "partnera" polažu jaja. Ovaj fraktal se nalazi u svim okeanima tropske zone.

Fraktali morskog carstva

Svako od nas barem jednom u životu držao je u rukama i ispitivao morsku školjku s iskrenim dječjim zanimanjem.

Obično su školjke lijep suvenir, koji podsjeća na izlet na more. Kada pogledate ovu spiralnu formaciju mekušaca beskičmenjaka, nema sumnje u njenu fraktalnu prirodu.

Mi ljudi smo donekle nalik ovim mekušcima mekog tela, koji žive u udobnim kućama od fraktalnog betona, stavljajući i pomerajući svoje telo u brzim automobilima.

Još jedan tipičan predstavnik fraktala podvodni svijet je koral.
U prirodi je poznato više od 3.500 vrsta koralja, u čijoj se paleti razlikuje do 350 nijansi boja.

Koral je materijal skeleta kolonije koraljnih polipa, takođe iz porodice beskičmenjaka. Njihove ogromne akumulacije formiraju čitave koralne grebene, čiji je fraktalni način formiranja očigledan.

Koral se s punim povjerenjem može nazvati fraktalom iz morskog kraljevstva.

Čovjek ga koristi i kao suvenir ili sirovinu za nakit i ukrase. Ali vrlo je teško ponoviti ljepotu i savršenstvo fraktalne prirode.

Iz nekog razloga, ne sumnjam da će se mnoge fraktalne životinje naći i u podvodnom svijetu.

Još jednom, izvođenje rituala u kuhinji sa nožem i daskom za rezanje, a zatim spuštanje noža u hladnom vodom, u suzama sam još jednom shvatila kako da se nosim sa fraktalom suza, koji mi se skoro svakodnevno pojavljuje pred očima.

Princip fraktalnosti je isti kao i kod poznate lutke gnezdarice - gnezda. Zato se fraktalnost ne primjećuje odmah. Osim toga, svjetlost je ujednačena boja i njena prirodna sposobnost izazivanja nelagodnost ne doprinose bliskom posmatranju svemira i identifikaciji fraktalnih matematičkih obrazaca.

Ali luk salate boje jorgovana, zbog svoje boje i odsustva fitoncida suza, podsjetio je na prirodnu fraktalnost ovog povrća. Naravno, to je jednostavan fraktal, obični krugovi različitih promjera, čak bi se moglo reći i najprimitivniji fraktal. Ali ne bi škodilo prisjetiti se da se lopta smatra idealnom geometrijskom figurom u našem svemiru.

O korisna svojstva Luk, na internetu je objavljeno mnogo članaka, ali nekako niko nije pokušao da proučava ovaj prirodni primjerak sa stanovišta fraktalnosti. Mogu samo navesti koliko je korisno koristiti fraktal u obliku luka u mojoj kuhinji.

P.S. I već sam kupio rezač povrća za seckanje fraktala. Sada morate razmisliti o tome koliko je fraktalno tako zdravo povrće kao što je obični bijeli kupus. Isti princip gniježđenja.

Fraktali u narodnoj umjetnosti

Pažnju mi ​​je privukla priča o svjetski poznatoj igrački "Matrjoška". Gledajući pažljivije, sa sigurnošću možemo reći da je ova igračka-suvenir tipičan fraktal.

Princip fraktalnosti je očigledan kada su sve figure drvene igračke poredane u niz, a ne ugniježđene jedna u drugu.

Moje malo istraživanje o istoriji pojave ovog fraktala igračke na svjetskom tržištu pokazalo je da ova ljepotica ima japanske korijene. Matrjoška se oduvijek smatrala originalnim ruskim suvenirom. Ali ispostavilo se da je ona bila prototip japanske figurice starog mudraca Fukuruma, koji je jednom iz Japana donesen u Moskvu.

Ali upravo je ruski zanat sa igračkama donio svjetsku slavu ovoj japanskoj figurici. Odakle ideja fraktalnog gniježđenja igračke, za mene lično, ostala je misterija. Najvjerovatnije je autor ove igračke koristio princip gniježđenja figura jedna u drugu. A najlakši način za ulaganje su slične figure različitih veličina, a ovo je već fraktal.

Jednako zanimljiv predmet proučavanja je slikanje fraktalne igračke. Ovo je dekorativna slika - Khokhloma. Tradicionalni elementi Khokhlome su biljni uzorci cvijeća, bobica i grana.

Opet, svi znaci fraktalnosti. Uostalom, isti element se može ponoviti nekoliko puta u različitim verzijama i proporcijama. Rezultat je narodna fraktalna slika.

A ako nikoga nećete iznenaditi novonastalim slikanjem kompjuterskih miševa, maski za laptop i telefona, onda je fraktalno podešavanje automobila u narodnom stilu nešto novo u dizajnu automobila. Ostaje samo da se iznenadimo manifestaciji svijeta fraktala u našem životu na tako neobičan način u tako uobičajenim stvarima za nas.

fraktali u kuhinji

Svaki put kada sam narezala karfiol na male cvjetiće za blanširanje u kipućoj vodi, nikad nisam primijetila očigledne znakove fraktalnosti dok nisam imala ovaj primjerak u rukama.

Tipičan predstavnik fraktala iz biljnog svijeta šepurio se na mom kuhinjskom stolu.

Uz svu svoju ljubav prema karfiolu, uvijek sam nailazio na primjerke sa ujednačenom površinom bez vidljivih znakova fraktalnosti, a ni veliki broj cvasti ugniježđenih jedan u drugi nije mi davao razloga da ovo vidim zdravo povrće fraktal.

No, površina ovog konkretnog primjerka sa izraženom fraktnom geometrijom nije ostavljala sumnju u fraktalno porijeklo ove vrste kupusa.

Još jedan odlazak u hipermarket samo je potvrdio fraktalni status kupusa. Među ogromnim brojem egzotičnog povrća našla se cijela kutija fraktala. Bio je to Romanescu, ili romanska brokula, koralni karfiol.

Ispostavilo se da se dizajneri i 3D umjetnici dive njegovim egzotičnim fraktalnim oblicima.

Pupoljci kupusa rastu u logaritamskoj spirali. Prvi spomen kupusa Romanescu dolazi iz Italije u 16. veku.

A brokula uopće nije čest gost u mojoj ishrani, iako po sadržaju korisne supstance i elemenata u tragovima, ponekad nadmašuje karfiol. Ali njegova površina i oblik su toliko ujednačeni da mi nikada nije palo na pamet da u njemu vidim biljni fraktal.

Fraktali u kvilingu

Videti ažurni zanati u tehnici quilling nikad nisam ostavljao osjećaj da me na nešto podsjećaju. Ponavljanje istih elemenata u različitim veličinama - naravno, ovo je princip fraktalnosti.

Nakon gledanja sljedeće majstorske klase quillinga, nije bilo ni sumnje u fraktalnost quillinga. Doista, za izradu raznih elemenata za zanate od quillinga koristi se poseban ravnalo s krugovima različitih promjera. Uz svu ljepotu i originalnost proizvoda, ovo je nevjerojatno jednostavna tehnika.

Gotovo svi osnovni elementi za zanate u quillingu izrađeni su od papira. Da biste se opskrbili besplatnim papirom za quilling, provjerite svoje police za knjige kod kuće. Sigurno ćete tamo pronaći nekoliko sjajnih sjajnih časopisa.

Alati za kviliranje su jednostavni i jeftini. Sve što vam je potrebno za amaterski quilling posao možete pronaći među svojim kućnim priborom.

A istorija quillinga počinje u 18. veku u Evropi. U renesansi su monasi iz francuskih i italijanskih manastira koristili quilling za ukrašavanje korica knjiga i nisu bili ni svjesni fraktalnosti tehnike valjanja papira koju su izmislili. Djevojke iz visokog društva čak su pohađale kurs quillinga u specijalnim školama. Tako se ova tehnika počela širiti po zemljama i kontinentima.

Ovaj video majstorski tečaj quillinga o pravljenju luksuznog perja može se čak nazvati i "uradi sam fraktali". Uz pomoć papirnih fraktala dobivaju se prekrasne ekskluzivne čestitke za zaljubljene i mnoge druge zanimljive stvari. Uostalom, fantazija je, kao i priroda, neiscrpna.

Nije tajna da su Japanci u životu veoma ograničeni u prostoru, pa stoga moraju na svaki mogući način da se ističu u njegovom efikasnom korišćenju. Takeshi Miyakawa pokazuje kako se to može učiniti efikasno i estetski u isto vrijeme. Njegov fraktalni ormar potvrđuje da upotreba fraktala u dizajnu nije samo danak modi, već i harmonično dizajnersko rješenje u ograničenom prostoru.

Ovaj primjer korištenja fraktala u pravi zivot, primijenjen na dizajn namještaja, pokazao mi je da fraktali nisu stvarni samo na papiru u matematičkim formulama i kompjuterskim programima.

I čini se da priroda svuda koristi princip fraktalnosti. Samo treba da je bolje pogledate i ona će se manifestovati u svom svom veličanstvenom obilju i beskonačnosti bića.

Nazad naprijed

Pažnja! Pregled slajda je samo u informativne svrhe i možda neće predstavljati puni obim prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Autori:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sofia

Lideri:
Mogutova Tatjana Mihajlovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Uvod.

Teorijski dio projekta:

• Istorija razvoja fraktalne geometrije.
• Koncept fraktala.
• Vrste fraktala:

a) geometrijski fraktali, primjeri geometrijskih fraktala;
b) algebarski fraktali, primjeri algebarskih fraktala;
c) stohastički fraktali, primjeri.

• prirodni fraktali.
• Praktična primjena fraktala:
• u književnosti;
• u telekomunikacijama;
• u medicini;
• u arhitekturi;
• u dizajnu;
• u ekonomiji;
• igrice, filmovi, muzika
• v prirodne nauke
• u fizici;
• u biologiji
• fraktali za domaćice
• moderne slike- fraktalna grafika.
• Fraktalna grafika.
• Uloga fraktalne geometrije u životu je himna fraktalima!

Praktični dio projekta

• Izrada naučnog rada "Putovanje u svijet fraktala"
• Postavljanje na Internet.
• Učešće na olimpijadama, takmičenjima.
• Kreirajte vlastite fraktale.
• Izrada brošure "Čudesni svijet fraktala"
• Održavanje festivala „Nevjerovatni svijet fraktala.

Uvod

Geometrija se često naziva hladnom i suhom. Jedan od razloga je njegova nesposobnost da opiše sve što nas okružuje: oblik oblaka, planine, drveta ili morske obale. Oblaci nisu kugle, planine nisu čunjevi, obale nisu krugovi, kora nije glatka, a munje ne putuju pravolinijski. Sa velikom radošću za nas, saznali smo da u modernom svijetu postoji nova geometrija - geometrija fraktala.

Otkriće fraktala revolucioniralo je ne samo geometriju, već i fiziku, hemiju, biologiju u svim područjima našeg života.

Relevantnost projekta:

• Uloga fraktala u modernom svijetu je prilično velika
• Uvjerljivi argumenti u prilog relevantnosti proučavanja fraktala je širina njihove primjene.

hipoteza istraživanja:

Fraktalna geometrija je moderna, vrlo zanimljiva oblast ljudskog znanja. Pojava fraktalne geometrije dokaz je tekuće evolucije čovjeka i širenja njegovih načina upoznavanja svijeta.

Cilj projekta:

Proučiti teoriju fraktala za kreiranje naučnog rada "Čudesni svijet fraktala" i razvoj i implementaciju na kompjuteru algoritama za crtanje fraktala na ravni.

Ciljevi projekta:

• Da se upoznaju sa istorijom nastanka i razvoja fraktalne geometrije;
• Proučiti vrste fraktala, njihovu primjenu u modernom svijetu.
• Pokrenite programe za kreiranje fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo
• Stvoriti naučni rad o fraktalima, objaviti na internetu.
• Napravite brošuru "Čudesni svijet fraktala"
• Održati festival "Nevjerovatni svijet fraktala" kako bi se učenici škole upoznali sa rezultatima našeg rada.

Na projektu smo radili 4 mjeseca.

Glavne faze našeg rada:

• Prikupljanje potrebnih informacija: korištenje interneta, knjiga, publikacija na ovu temu. (2 sedmice)
• Sortiranje informacija po temama: sistematizacija i određivanje redosleda pisanja rada. Radovi su trajali 2 sedmice.
• Sastavljanje tekstualnog rada: pisanje teksta, djelomično oblikovanje sistematizovanih informacija. Trebalo je mjesec dana.
• Izrada prezentacije: komprimovanje sistematizovanih informacija, određivanje strukture prezentacije, njeno kreiranje i dizajn, odvijalo se u roku od mesec dana.
• Učenje programa za kreiranje fraktala i kreiranje vlastitih fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo (do danas)

Teorijski dio projekta

Proučavali smo istoriju stvaranja fraktalne geometrije.

Interes za fraktalne objekte oživio je sredinom 70-ih godina 20. stoljeća.

Rođenje fraktalne geometrije obično se povezuje s objavljivanjem Mandelbrotove knjige 'Fraktalna geometrija prirode' 1977. godine. Njegovi radovi su koristili naučne rezultate drugih naučnika koji su radili u periodu 1875-1925 na istom polju (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Ali samo u naše vrijeme bilo je moguće spojiti njihova djela u jedan sistem.

Dakle, šta je fraktal?

fraktal - geometrijska figura sastavljena od nekoliko dijelova, od kojih je svaki sličan cijeloj figuri u cjelini.

Mali dio fraktala sadrži informacije o cijelom fraktalu. Danas se riječ “fraktal” najčešće koristi za grafički prikaz strukture koja je sama sebi slična u većoj mjeri.

Fraktali se dijele na geometrijske, geometrijske i stohastičke.

Geometrijski fraktali se inače nazivaju klasičnim. Oni su najvizuelniji, jer imaju takozvanu krutu samosličnost, koja se ne mijenja kada se mijenja skala. To znači da bez obzira koliko zumirate fraktal, i dalje vidite isti obrazac.

Evo najpoznatijih primjera geometrijskih fraktala.

Snowflake Koch.

Izumio 1904. godine njemački matematičar Helge von Koch.

Za njegovu izgradnju uzima se jedan segment, podijeljen na tri jednaka dijela, a srednja karika zamjenjuje se jednakostraničnim trouglom bez ove veze. U sljedećem koraku ponavljamo operaciju za svaki od četiri rezultujuća segmenta. Kao rezultat beskonačnog ponavljanja ovog postupka, dobija se fraktalna kriva.

Durerov pentagon.

Fraktal izgleda kao gomila pentagona stisnutih zajedno. Zapravo, nastaje korištenjem petougla kao inicijatora i jednakokračnih trokuta, odnos najveće prema najmanjoj strani u kojoj je tačno jednak tzv. zlatnom rezu.Ovi trouglovi su izrezani iz sredine svakog petougla, što rezultira figurom sličnom 5 malih pentagona zalijepljenih na jedan veliki.

Sierpinski salveta.

Godine 1915. poljski matematičar Vaclav Sierpinski smislio je zanimljiv predmet.

Za njegovu konstrukciju uzima se čvrst jednakostranični trokut. U prvom koraku, obrnuti jednakostranični trokut se uklanja iz centra. Drugi korak uklanja tri obrnuta trougla od tri preostala trougla, i tako dalje.

Dragon Curve.

Izumio ga je italijanski matematičar Giuseppe Peano.

Sierpinski tepih.

Uzima se kvadrat, podijeljen na devet jednakih kvadrata, od kojih se sredina izbacuje, a ista operacija se ponavlja s ostalima beskonačno.

Druga vrsta fraktala su algebarski fraktali.

Ime su dobili jer su izgrađeni na bazi algebarskih formula. Kao rezultat matematičke obrade ove formule, na ekranu se prikazuje tačka određene boje. Rezultat je čudna figura u kojoj se prave linije pretvaraju u krivulje, a efekti samosličnosti se pojavljuju na različitim nivoima skale. Gotovo svaka tačka na ekranu računara je kao poseban fraktal.

Primjeri najpoznatijih algebarskih fraktala.

Mandelbrot set.

Mandelbrot skupovi su najčešći među algebarskim fraktalima. Može se naći u mnogim naučnim časopisima, naslovnicama knjiga, razglednicama i čuvarima ekrana računara. Ovaj fraktal podsjeća na mašinu za kartanje sa užarenim stablom i krugovima koji su pričvršćeni za njega.

Julia set.

Julia set je izumio francuski matematičar Gaston Julia. Ništa manje poznati algebarski fraktal.

Newtonovi bazeni.

Stohastički fraktali.

Fraktali, pri čijoj konstrukciji se neki parametri nasumično mijenjaju u iterativnom sistemu, nazivaju se stohastičkim. Izraz "stohastički" dolazi od grčke riječi za "pogoditi".

To rezultira objektima vrlo sličnim prirodnim - asimetrično drveće, razvedene obale itd. Dvodimenzionalni stohastički fraktali koriste se u modeliranju terena i površine mora.

Ovi fraktali se koriste u modeliranju terena i površine mora, u procesu elektrolize. Ova grupa fraktala je postala široko rasprostranjena zahvaljujući radu Michaela Barnsleya sa Tehnološkog instituta Georgije.
Tipičan predstavnik ove klase fraktala je "Plazma".

Za nas najrazumljiviji su takozvani prirodni fraktali.

"Velika knjiga prirode napisana je jezikom geometrije" (Galileo Galilei).

prirodni fraktali.

• U prirodi:
• Morske zvijezde i ježevi
• Cvijeće i biljke (brokula, kupus)
• Krošnje drveća i listovi biljaka
• voće (ananas)
• Cirkulatorni sistem i bronhi ljudi i životinja
• U neživoj prirodi:
• Granice geografskih objekata (države, regije, gradovi)
• Smrznuti uzorci na prozorskim staklima
• Stalaktiti, stalagmiti, heliktiti.

Gotovo sve prirodne formacije: krošnje drveća, oblaci, planine, obale imaju fraktalnu strukturu.
Šta to znači?

Ako pogledate fraktalni objekt u cjelini, zatim njegov dio u uvećanoj mjeri, zatim dio ovog dijela, lako je vidjeti da izgledaju isto.

Morski fraktali.

Hobotnica je životinja morskog dna iz reda glavonožaca.

Njena tijela i sisa na svih osam pipaka ove životinje imaju fraktalnu strukturu.

Još jedan tipičan predstavnik fraktalnog podvodnog svijeta je koral.

U prirodi je poznato preko 3500 vrsta koralja.

Zeleni fraktal - listovi paprati.

Listovi paprati imaju oblik fraktalne figure - sami su slični.

Luk je fraktal koji vas tjera da plačete. Naravno, to je jednostavan fraktal: obični krugovi različitih prečnika, čak bi se moglo reći i primitivni fraktal.

Upečatljiv primjer fraktala u prirodi je "Romanescu“, ona je također “Romance brokoli” ili “karfiol koral”.

Karfiol- tipičan fraktal.

Razmotrite strukturu karfiola.

Ako odrežete jedan od cvjetova, očito je da u rukama ostaje isti karfiol, samo manje veličine. Možemo nastaviti rezati iznova i iznova, čak i pod mikroskopom - ali sve što dobijemo su male kopije karfiola.

Matrjoška - igračka za suvenir je tipičan fraktal. Princip fraktalnosti je očigledan kada su sve figure drvene igračke poredane u niz, a ne ugniježđene jedna u drugu.

Čovjek je fraktal.

Dijete se rađa, raste, a taj proces prati princip "samosličnosti", fraktalnosti.

Opseg fraktala je širok.

Fraktali u književnosti

Među književnim djelima postoje ona koja imaju tekstualnu, strukturnu ili fraktalnu prirodu. U književnim fraktalima elementi teksta se beskonačno ponavljaju:

Sveštenik je imao psa
volio ju je.
Pojela je komad mesa
ubio ju je.
Zakopan u zemlju
Natpis je pisao:
Sveštenik je imao psa...

“Evo kuće.
koju je Jack napravio.
A evo i pšenice.

U kući,
koju je Jack napravio
A evo i vesele sise,
Koji spretno krade pšenicu,
Koja se čuva u tamnom ormaru
U kući,
koju je Jack napravio... .

Fraktali u telekomunikacijama.

Za prijenos podataka na udaljenosti koriste se antene fraktalnog oblika, što uvelike smanjuje njihovu veličinu i težinu.

Fraktali u medicini.

Trenutno se fraktali široko koriste u medicini. Samo po sebi, ljudsko tijelo se sastoji od mnogih fraktalnih struktura: krvožilnog sistema, mišića, bronhija, bronhijalnih puteva u plućima, arterija.

Teorija fraktala se primjenjuje na analizu elektrokardiograma.

Procjena veličine i ritmova fraktalne dimenzije omogućava više rana faza te preciznije i informativnije za procjenu poremećaja homeostaze i razvoja specifičnih srčanih bolesti.

Rendgenske slike obrađene fraktalnim algoritmima daju bolju sliku, a samim tim i bolju dijagnostiku!!

Još jedno područje aktivne primjene fraktala je gastroenterologija.

Nova istraživačka metoda u medicini, elektrogastroenterografija je istraživačka metoda koja vam omogućava procjenu bioelektrične aktivnosti želuca, duodenuma i drugih dijelova gastrointestinalnog trakta.

Fraktali u arhitekturi.

Fraktalni princip razvoja prirodnih i geometrijskih objekata duboko prodire u arhitekturu i kao slika vanjskog rješenja objekta i kao unutrašnji princip arhitektonskog oblikovanja.

Krenuli su dizajneri iz cijelog svijeta da u svom radu koriste divne fraktalne strukture, koje su tek nedavno opisali istaknuti matematičari.

Upotreba fraktala podigla je skoro sva područja modernog dizajna na novi nivo.

Uvođenje fraktalnih struktura povećalo je u mnogim slučajevima i vizualne i funkcionalne aspekte dizajna.

Dizajner Takeshi Miyakawa je kao dijete sanjao da postane matematičar.

Kako drugačije objasniti ovaj komad namještaja: noćni ormarić Fractal 23 sadrži 23 ladice različitih veličina i proporcija, koje nekako uspijevaju da se slažu jedna s drugom unutar kubičnog tijela, ispunjavajući gotovo sav raspoloživi prostor.

Fraktali u ekonomiji.

Nedavno su fraktali postali popularni među ekonomistima za analizu kretanja berzi, valuta i tržišta trgovanja.
Fraktali se dosta često pojavljuju na tržištu.

Fraktali u igricama.

Danas, u mnogim igrama (možda najupečatljiviji primjer Minecrafta), gdje postoje razne vrste prirodnih krajolika, fraktalni algoritmi se koriste na ovaj ili onaj način. Created veliki broj programi za generisanje pejzaža i pejzaža na osnovu fraktalnih algoritama.

Fraktali u bioskopu.

U bioskopu se fraktalni algoritam koristi za stvaranje različitih fantastičnih pejzaža. Fraktalna geometrija omogućava VFX umjetnicima da lako kreiraju objekte kao što su oblaci, dim, plamen, zvjezdano nebo i još mnogo toga. Šta onda reći o fraktalnoj animaciji, to je zaista nevjerovatan prizor.

Elektronska muzika.

Spektakl fraktalne animacije uspešno koriste VJ. Posebno se često takve video instalacije koriste na koncertima izvođača elektronske muzike.

Prirodne nauke.

Vrlo često se fraktali koriste u geologiji i geofizici. Nije tajna da obale ostrva i kontinenata imaju određenu fraktalnu dimenziju, znajući koju možete vrlo precizno izračunati dužinu obala.

Proučavanje tektonike rasjeda i seizmičnosti ponekad se također proučava korištenjem fraktalnih algoritama.

Geofizika koristi fraktale i fraktalne analize za proučavanje anomalija magnetnog polja, za proučavanje širenja talasa i oscilacija u elastičnim medijima, za proučavanje klime i mnoge druge stvari.

Fraktali u fizici.

Fraktali se široko koriste u fizici. U fizici čvrstog stanja, fraktalni algoritmi omogućavaju precizno opisivanje i predviđanje svojstava čvrstih, poroznih, spužvastih tijela i aerogela. Ovo pomaže u stvaranju novih materijala s neobičnim i korisnim svojstvima.
Primjer čvrstog tijela su kristali.

Proučavanje turbulencije u tokovima se vrlo dobro prilagođava fraktalima.

Prelazak na fraktalni prikaz olakšava rad inženjera i fizičara, omogućavajući im da bolje razumiju dinamiku složenih sistema.
Plamen se također može modelirati korištenjem fraktala.

Fraktali u biologiji.

U biologiji se koriste za modeliranje populacija i za opisivanje sistema. unutrašnje organe(sistem krvnih sudova). Nakon stvaranja Kochove krivulje, predloženo je da se ona koristi pri izračunavanju dužine obalne linije.

Fraktali za domaćice.

Lako je prenijeti teoriju fraktala u dom, uključujući i kuhinju.

Rezultat aplikacije može biti sve: fraktalne naušnice, fraktalna ukusna jetra i još mnogo toga. Potrebno je samo povezati znanje i domišljatost!

Fraktalna grafika se široko koristi u modernom svijetu. Slike su popularne - rezultat fraktalne grafike.

I to nije slučajnost. Divite se ljepoti fraktalne grafike!

Praktični dio projekta

• Kreirao naučni rad "Putovanje u svet fraktala"
• Studirao programe za kreiranje fraktala u programskim jezicima Pascal i Logo
• Kreirajte vlastite fraktale.
• Svojim rukama izradili smo "Salveta Sierpinskog" i "Tepih Sierpinskog"
• Napravljene "Fraktalne minđuše"
• Kreirao seriju slika "Čuda fraktalne grafike"
• Na Internetu objavio rad "Putovanje u svijet fraktala".
• Učestvovao sa radom "Putovanje u svijet fraktala" u VII Sveruska olimpijadaškolaraca i studenata "Nauka 2.0" iz predmeta "Matematika". Zauzeli su prvo mjesto.
• Učestvovali su sa radom „Putovanje u svet fraktala“ na sveruskom konkursu „Velika otkrića i izumi“. Zauzeli su prvo mjesto.
• Učestvovali su sa radom „Putovanje u svet fraktala“ na VIII Sveruskoj olimpijadi za školarce i studente „Ja sam istraživač“ iz predmeta matematika. Zauzeli su prvo mjesto.
• Napravio prezentaciju "Nevjerovatan svijet fraktala"
• Izrađene brošure "Primjena fraktala" i "Fraktali oko nas"
• Održali smo festival "Neverovatni svet fraktala" za učenike 8-11 razreda"

Dakle, sa punim povjerenjem možemo reći o ogromnom praktična primjena fraktali i fraktalni algoritmi danas.

Opseg područja u kojima se koriste fraktali je vrlo širok i raznolik.

I sigurno će u bliskoj budućnosti fraktali, fraktalna geometrija, postati bliski i razumljivi svakome od nas. Ne možemo bez njih u našim životima!

Nadajmo se da je pojava fraktalne geometrije dokaz tekuće evolucije čovjeka i širenja njegovih načina poznavanja i razumijevanja svijeta. Možda će i naša djeca lako i smisleno operirati pojmovima fraktala i nelinearne dinamike, kao što mi operišemo konceptima klasične fizike, euklidske geometrije.

Rezultati projekta

• Upoznali smo se sa istorijom nastanka i razvoja fraktalne geometrije;
• Proučavali smo vrste fraktala, njihovu primjenu u modernom svijetu.
• Napravili smo vlastite fraktale u programskim jezicima Pascal i Logo
• Stvorio naučni rad o fraktalima.
• Izrađene brošure "Fraktali oko nas" i "Primjena fraktala"
• Održali smo festival "Čudesni svijet fraktala" za učenike 8-11 razreda.

Haos je red koji treba dešifrovati.

José Saramago, "Dvojnik"

„20. vek će buduće generacije pamtiti samo zahvaljujući stvaranju teorija relativnosti, kvantne mehanike i haosa... teorija relativnosti je ukinula Njutnove iluzije o apsolutnom prostoru-vremenu, kvantna mehanika je raspršila san determinizma fizičkih događaja, i, konačno, haos je razotkrio Laplasovu fantaziju o potpunoj predodređenosti razvoja sistema. Ove riječi poznatog američkog istoričara i popularizatora nauke Džejmsa Gleika odražavaju veliki značaj ovog pitanja, što je samo ukratko obrađeno u članku koji se nudi čitaočkoj pažnji. Naš svijet je nastao iz haosa. Međutim, ako se haos ne pokorava svojim zakonima, ako u njemu nema posebne logike, ne bi mogao ništa proizvesti.

Novo je dobro zaboravljeno staro

Dozvolite mi još jedan citat iz Gleicka:

Pomisao na unutrašnju sličnost, da se veliko može uložiti u malo, dugo je mazila ljudska duša... Prema Leibnizu, kap vode sadrži cijeli svijet koji blista bojama, u kojem blistaju vodene prske i žive drugi nepoznati univerzumi. „Pogledajte svijet u zrnu pijeska“, potaknuo je Blake, a neki naučnici su pokušali slijediti njegovo pravilo. Prvi istraživači sjemene tekućine bili su skloni da u svakom spermatozoinu vide neku vrstu homunkulusa, odnosno sićušnog, ali već potpuno formiranog čovjeka.

Retrospektiva takvih pogleda može se povući mnogo dalje u dubine istorije. Jedan od osnovnih principa magije - sastavni stupanj u razvoju svakog društva - je postulat: dio je kao cjelina. To se manifestiralo u radnjama kao što su zakopavanje lubanje životinje umjesto cijele životinje, maketa kočije umjesto same kočije itd. Čuvajući lobanju nekog pretka, rođaci su vjerovali da on nastavlja živjeti pored njih. i učestvuju u njihovim poslovima.

Čak je i starogrčki filozof Anaksagora smatrao primarne elemente svemira česticama sličnim drugim česticama cjeline i same cjeline, "beskonačnim i u mnoštvu i u malenosti". Aristotel je elemente Anaksagore okarakterisao pridjevom "slični dijelovi".

A naš savremenik, američki kibernetičar Ron Eglash, proučavajući kulturu afričkih plemena i južnoameričkih Indijanaca, došao je do otkrića: od davnina su neki od njih koristili fraktalne principe konstrukcije u ukrasima, šarama na odjeći i kućnim potrepštinama, u nakit, ritualne ceremonije, pa čak i u arhitekturi. Dakle, struktura sela nekih afričkih plemena je krug u kojem se nalaze mali krugovi - kuće, unutar kojih su još manji krugovi - kuće duhova. U drugim plemenima, umjesto krugova, druge figure služe kao elementi arhitekture, ali se i one ponavljaju u različitim razmjerima, podređene jednoj strukturi. Štaviše, ovi principi gradnje nisu bili obična imitacija prirode, već su bili u skladu sa preovlađujućim svjetonazorom i društvenom organizacijom.

Naša civilizacija je, čini se, otišla daleko od primitivnog postojanja. Međutim, mi nastavljamo da živimo u istom svetu, i dalje smo okruženi prirodom, živimo po sopstvenim zakonima, uprkos svim pokušajima čoveka da je prilagodi svojim potrebama. I sam čovjek (da to ne zaboravimo) ostaje dio ove prirode.

Gert Eilenberger, njemački fizičar koji je proučavao nelinearnost, jednom je primijetio:

Zašto se silueta nagog drveta savijenog pod pritiskom olujnog vjetra na pozadini tmurnog zimskog neba doživljava kao lijepa, dok se obrisi moderne multifunkcionalne zgrade, unatoč trudu arhitekte, ne čine tako uopšte? Čini mi se da je... naš osjećaj za ljepotu "podstaknut" skladnom kombinacijom reda i nereda, što se može uočiti u prirodnim pojavama: oblacima, drveću, planinskim lancima ili kristalima pahuljica. Sva ovakva kola su dinamički procesi zamrznuti u fizičkim oblicima, a karakteriše ih kombinacija stabilnosti i slučajnosti.

Na počecima teorije haosa

Šta mislimo pod haos? Nemogućnost predviđanja ponašanja sistema, nestalni skokovi u različitim smjerovima koji se nikada neće pretvoriti u uređeni niz.

Francuski matematičar, fizičar i filozof Henri Poincare smatra se prvim istraživačem haosa. Čak i na kraju XIX veka. kada je proučavao ponašanje sistema sa tri tela koja gravitaciono deluju u interakciji, primetio je da mogu postojati neperiodične orbite koje se stalno i ne udaljavaju od određene tačke, i ne približavaju joj se.

Tradicionalne metode geometrije, koje se široko koriste u prirodnim naukama, zasnivaju se na aproksimaciji strukture predmeta koji se proučava geometrijskim figurama, na primjer, linijama, ravnima, sferama, čije su metričke i topološke dimenzije jednake jedna drugoj. . U većini slučajeva svojstva objekta koji se proučava i njegova interakcija sa okolinom opisuju se integralnim termodinamičkim karakteristikama, što dovodi do gubitka značajnog dijela informacija o sistemu i njegove zamjene manje ili više adekvatnim modelom. Najčešće je takvo pojednostavljenje sasvim opravdano, ali postoje brojne situacije u kojima je upotreba topološki neadekvatnih modela neprihvatljiva. Vladimir Konstantinovič Ivanov naveo je primer takvog neslaganja u svom doktoratu. Pokazalo se da veličina površine zavisi od linearne veličine „mjernih“ molekula ne kvadratno, što bi se očekivalo iz najjednostavnijih geometrijskih razmatranja, već sa eksponentom koji se ponekad približava tri.

Prognoza vremena jedan je od problema s kojim se čovječanstvo bori od davnina. Poznata je anegdota na ovu temu, gde se vremenska prognoza prenosi lancem od šamana do stočara irvasa, pa do geologa, pa do urednika radijskog programa i na kraju se krug zaokružuje, jer ispostavilo se da je šaman saznao prognozu sa radija. Opis tako složenog sistema kao što je vreme, sa mnogo varijabli, ne može se svesti na jednostavne modele. Ovim zadatkom počela je upotreba računara za modeliranje nelinearnih dinamičkih sistema. Jedan od osnivača teorije haosa, američki meteorolog i matematičar Edward Norton Lorentz posvetio je mnogo godina problemu prognoze vremena. Još 60-ih godina prošlog veka, pokušavajući da shvati razloge nepouzdanosti vremenske prognoze, pokazao je da stanje složenog dinamičkog sistema može snažno zavisiti od početni uslovi: mala promjena u jednom od brojnih parametara može drastično promijeniti očekivani rezultat. Lorenc je ovu zavisnost nazvao efektom leptira: "Današnje lepršanje krila moljca u Pekingu moglo bi da izazove uragan u Njujorku za mesec dana." Bio je poznat po svom radu na opštoj cirkulaciji atmosfere. Istražujući sistem jednačina sa tri varijable koje opisuju proces, Lorenz je grafički prikazao rezultate svoje analize: linije grafika predstavljaju koordinate tačaka određene rješenjima u prostoru ovih varijabli (slika 1). Rezultirajuća dvostruka spirala, tzv Lorenz atraktor(ili "čudni atraktor"), izgledao je kao nešto beskonačno zamršeno, ali se uvijek nalazi unutar određenih granica i nikad se ne ponavlja. Gibanje u atraktoru je apstraktno (varijable mogu biti brzina, gustina, temperatura itd.), a ipak prenosi karakteristike stvarnih fizičkih pojava, kao što je kretanje vodenog točka, konvekcija u zatvorenoj petlji, single-mode laser zračenje, disipativne harmonijske oscilacije (čiji parametri igraju ulogu odgovarajućih varijabli).

Od hiljada publikacija koje su sačinjavale specijalnu literaturu o problemu haosa, jedva da je ijedna citirana češće od Lorentzovog rada iz 1963. "Deterministički neperiodični tok". Iako je vremenska prognoza u vrijeme ovog rada kompjuterskim modeliranjem „pretvorena iz umjetnosti u nauku“, dugoročne prognoze su i dalje bile nepouzdane i nepouzdane. Razlog za to je upravo efekat leptira.

Istih 1960-ih, matematičar Stephen Smale sa Univerziteta u Kaliforniji okupio je istraživačku grupu mladih istomišljenika na Berkeleyu. Prethodno je dobio Fieldsovu medalju za izvanredna istraživanja u topologiji. Smale je proučavao dinamičke sisteme, posebno nelinearne haotične oscilatore. Da bi reproducirao cijeli poremećaj van der Polovog oscilatora u faznom prostoru, stvorio je strukturu poznatu kao "potkovica" - primjer dinamičkog sistema koji ima haotičnu dinamiku.

"Potkovica" (slika 2) - tačna i vidljiva slika jake zavisnosti od početnih uslova: nikada ne možete pogoditi gde će biti početna tačka nakon nekoliko iteracija. Ovaj primjer je bio poticaj za pronalazak ruskog matematičara, specijaliste za teoriju dinamičkih sistema i diferencijalnih jednačina, diferencijalnu geometriju i topologiju Dmitrija Viktoroviča Anosova "Anosovljevi difeomorfizmi". Kasnije je iz ova dva rada nastala teorija hiperboličkih dinamičkih sistema. Prošlo je desetljeće prije nego što je Smaleov rad privukao pažnju drugih disciplina. “Kada se to ipak dogodilo, fizičari su shvatili da je Smale okrenuo čitavu granu matematike stvarnom svijetu» .

Godine 1972. matematičar sa Univerziteta Maryland James Yorke pročitao je gornji Lorenzov rad, koji ga je pogodio. Yorke je u članku vidio živi fizički model i smatrao je svojom svetom dužnošću da fizičarima prenese ono što nisu vidjeli u radovima Lorentza i Smalea. Proslijedio je kopiju Lorenzovog članka Smaleu. Bio je zaprepašten kada je otkrio da je opskurni meteorolog (Lorenz) deset godina ranije otkrio taj poremećaj koji je i sam nekada smatrao matematički nevjerovatnim, i poslao kopije svim svojim kolegama.

Biolog Robert Mej, prijatelj Jorka, proučavao je promene u životinjskim populacijama. May je krenuo stopama Pierrea Verchlusta, koji je još 1845. godine skrenuo pažnju na nepredvidivost promjena u broju životinja i došao do zaključka da je stopa rasta populacije promjenjiva vrijednost. Drugim riječima, proces je nelinearan. Mej je pokušala da uhvati šta se dešava populaciji kako se fluktuacije stope rasta približavaju određenoj kritičnoj tački (tačka bifurkacije). Variranjem vrijednosti ovog nelinearnog parametra, otkrio je da su fundamentalne promjene moguće u samoj suštini sistema: povećanje parametra značilo je povećanje stepena nelinearnosti, koji se, pak, mijenja ne samo kvantitativne, već i kvalitativne karakteristike rezultata. Takva operacija je utjecala kako na konačnu vrijednost populacije koja je bila u ravnoteži, tako i na njenu sposobnost da do nje uopće dođe. Pod određenim uslovima, periodičnost je ustupila mesto haosu, fluktuacijama koje nikada nisu zamrle.

York je matematički analizirao opisane pojave u svom radu, dokazujući da se u bilo kojem jednodimenzionalnom sistemu događa sljedeće: ako se pojavi pravilan ciklus sa tri talasa (glatko raste i pada u vrijednostima bilo kojeg parametra), onda se u budućnosti Sistem će početi da pokazuje kako su ispravni ciklusi bilo kojeg drugog trajanja i potpuno haotični. (Kao što se pokazalo nekoliko godina nakon objavljivanja članka na međunarodna konferencija u istočnom Berlinu, sovjetski (ukrajinski) matematičar Aleksandar Nikolajevič Šarkovski bio je nešto ispred Jorka u svom istraživanju). York je napisao članak za poznatu naučnu publikaciju American Mathematical Monthly. Međutim, York je postigao više od matematičkog rezultata: pokazao je fizičarima da je haos sveprisutan, stabilan i strukturiran. Dao je razlog za vjerovanje da su složeni sistemi tradicionalno opisani kao teško rješivi diferencijalne jednadžbe, može se predstaviti pomoću vizuelnih grafova.

May je pokušala skrenuti pažnju biologa na činjenicu da životinjske populacije doživljavaju više od samo uređenih ciklusa. Na putu do haosa postoji čitav niz perioda udvostručavanja. Upravo na tačkama bifurkacije određeno povećanje plodnosti jedinki moglo bi dovesti, na primjer, do promjene četverogodišnjeg ciklusa populacije ciganskog moljca u osmogodišnji. Amerikanac Mitchel Feigenbaum odlučio je započeti s prebrojavanjem točnih vrijednosti parametra koji je generirao takve promjene. Njegovi proračuni su pokazali da nije važno kolika je početna populacija - ona se i dalje stalno približava atraktoru. Zatim, sa udvostručenjem prvog perioda, atraktor se, poput ćelije koja se deli, podelio na dva dela. Zatim je došlo do sljedećeg množenja perioda i svaka tačka atraktora je počela ponovo da se dijeli. Broj, invarijantni Fajgenbaum koji je dobio, omogućio mu je da tačno predvidi kada će se to dogoditi. Naučnik je otkrio da može da predvidi ovaj efekat za najkompleksniji atraktor - na dve, četiri, osam tačaka... Rečeno jezikom ekologije, mogao je da predvidi stvarni broj koji se postiže u populacijama tokom godišnjih fluktuacija. Tako je Feigenbaum otkrio 1976. "kaskadu udvostručavanja perioda" na osnovu Mayovog rada i njegovog istraživanja turbulencije. Njegova teorija odražava prirodni zakon koji se primjenjuje na sve sisteme koji prolaze kroz tranziciju iz reda u haos. York, May i Feigenbaum su bili prvi na Zapadu koji su u potpunosti shvatili važnost udvostručavanja perioda i uspjeli su prenijeti ovu ideju cijeloj naučnoj zajednici. May je izjavila da haosu treba naučiti.

Sovjetski matematičari i fizičari napredovali su u svojim istraživanjima nezavisno od svojih stranih kolega. Proučavanje haosa počelo je radom A. N. Kolmogorova 1950-ih. Ali ideje stranih kolega nisu ostale bez njihove pažnje. Pioniri teorije haosa su sovjetski matematičari Andrej Nikolajevič Kolmogorov i Vladimir Igorevič Arnold i njemački matematičar Jirgen Moser, koji je izgradio teoriju haosa, nazvanu KAM (teorija Kolmogorov-Arnold-Moser). Još jedan naš izvanredni sunarodnjak, sjajni fizičar i matematičar Jakov Grigorijevič Sinai, primjenjivao je u termodinamičkim razmatranjima slična Smale potkovici. Čim su se zapadni fizičari upoznali sa Lorencovim radom 1970-ih, ono je postalo poznato i u SSSR-u. Godine 1975, dok su Jork i Mej još ulagali značajne napore da privuku pažnju svojih kolega, Sinai i njegovi drugovi su organizovali istraživačku grupu u Gorkom da proučava ovaj problem.

U prošlom vijeku, kada su uska specijalizacija i nejedinstvo između različitih disciplina postali norma u nauci, matematičari, fizičari, biolozi, hemičari, fiziolozi i ekonomisti su se borili oko sličnih problema a da nisu čuli jedni druge. Ideje koje zahtijevaju promjenu uobičajenog pogleda na svijet uvijek se bore da probiju svoj put. Međutim, postepeno je postalo jasno da takve stvari kao što su promjena životinjskih populacija, fluktuacije tržišnih cijena, promjene vremena, distribucija nebeskih tijela po veličini i mnogo, mnogo više, slijede iste obrasce. “Shvatanje ove činjenice natjeralo je menadžere da preispitaju svoj stav prema osiguranju, astronome da ga sagledaju iz drugog ugla. Solarni sistem, političari – da se predomisle o uzrocima oružanih sukoba”.

Do sredine 1980-ih situacija se dramatično promijenila. Ideje fraktalne geometrije ujedinile su naučnike koji su bili zbunjeni sopstvenim zapažanjima i nisu znali kako da ih protumače. Za istraživače haosa, matematika je postala eksperimentalna nauka, kompjuteri su zamijenili laboratorije. Grafičke slike su postale od najveće važnosti. Nova nauka dala je svetu poseban jezik, nove koncepte: fazni portret, atraktor, bifurkaciju, presek faznog prostora, fraktal...

Benoit Mandelbrot je, oslanjajući se na ideje i radove svojih prethodnika i savremenika, pokazao da su tako složeni procesi kao što su rast drveta, formiranje oblaka, varijacije u ekonomskim karakteristikama ili veličina životinjskih populacija vođeni suštinski sličnim zakonima prirode. . To su određeni obrasci po kojima živi haos. Sa stanovišta prirodne samoorganizacije, oni su mnogo jednostavniji od umjetnih oblika poznatih civiliziranoj osobi. Oni se mogu prepoznati kao složeni samo u kontekstu euklidske geometrije, pošto su fraktali definisani specificiranjem algoritma, pa se stoga mogu opisati korišćenjem male količine informacija.

Fraktalna geometrija prirode

Hajde da pokušamo da shvatimo šta je fraktal i "sa čime se jede". I zaista možete pojesti neke od njih, poput, na primjer, tipičnog predstavnika prikazanog na fotografiji.

Riječ fraktal dolazi od latinskog fraktus- zgnječeno, slomljeno, razbijeno na komade. Fraktal je matematički skup koji ima svojstvo samosličnosti, odnosno invarijantnost skale.

Termin "fraktal" skovao je Mandelbrot 1975. godine i stekao je široku popularnost objavljivanjem njegove knjige Fraktalna geometrija prirode 1977. godine. "Dajte čudovištu neko ugodno, domaće ime i iznenadit ćete se koliko će ga biti lakše ukrotiti!" rekao je Mandelbrot. Ta želja da se predmeti koji se proučavaju (matematički skupovi) učine bliskim i razumljivim dovela je do rađanja novih matematičkih pojmova, kao npr. prašina, svježi sir, serum, jasno pokazujući njihovu duboku povezanost sa prirodnim procesima.

Matematički koncept fraktala razlikuje objekte koji imaju strukture različitih razmjera, velikih i malih, te na taj način odražava hijerarhijski princip organizacije. Naravno, različite grane stabla, na primjer, ne mogu se tačno poravnati jedna s drugom, ali se mogu smatrati sličnima u statističkom smislu. Na isti način slično izgledaju oblici oblaka, obrisi planina, linija morske obale, šara plamena, krvožilni sistem, jaruge, munje, gledano u različitim razmjerima. Iako ova idealizacija može biti pojednostavljenje stvarnosti, ona uvelike povećava dubinu matematički opis priroda.

Koncept "prirodnog fraktala" uveo je Mandelbrot da označi prirodne strukture koje se mogu opisati pomoću fraktalnih skupova. Ovi prirodni objekti uključuju element slučajnosti. Teorija koju je stvorio Mandelbrot omogućava kvantitativno i kvalitativno opisivanje svih onih oblika koji su se ranije nazivali zapletenim, valovitim, hrapavim itd.

Dinamički procesi o kojima smo gore govorili, takozvani procesi povratne sprege, javljaju se u različitim fizičkim i matematičkim problemima. Svima im je zajedničko jedno - nadmetanje nekoliko centara (zvanih "atraktori") za dominaciju u avionu. Stanje u kojem se sistem našao nakon određenog broja iteracija zavisi od njegovog „početnog mesta“. Dakle, svaki atraktor odgovara određenom području početnih stanja, iz kojih će sistem nužno pasti u razmatrano konačno stanje. Dakle, fazni prostor sistema (apstraktni prostor parametara povezanih sa određenim dinamičkim sistemom, tačke u kojima jedinstveno karakterišu sva njegova moguća stanja) je podeljen na područja privlačnosti atraktori. Postoji svojevrsni povratak Aristotelovoj dinamici, prema kojoj svako tijelo teži svom predviđenom mjestu. Jednostavne granice između "susednih teritorija" retko nastaju kao rezultat takvog rivalstva. Upravo u ovom graničnom području odvija se prijelaz iz jednog oblika postojanja u drugi: iz reda u haos. Opšti oblik izraza za dinamički zakon je vrlo jednostavan: x n+1 → f x n C . Cijela složenost leži u nelinearnom odnosu između početne vrijednosti i rezultata. Ako započnete iterativni proces specificiranog tipa od neke proizvoljne vrijednosti \(x_0 \), tada će njegov rezultat biti niz \(x_1 \), \(x_2 \), ..., koji će ili konvergirati do neke granice vrijednost \(X \), težeći stanju mirovanja, ili će doći do određenog ciklusa vrijednosti koji će se ponavljati iznova i iznova, ili će se sve vrijeme ponašati nasumično i nepredvidivo. Upravo su takve procese tokom Prvog svjetskog rata proučavali francuski matematičari Gaston Julia i Pierre Fato.

Proučavajući skupove koje su oni otkrili, Mandelbrot je 1979. došao do slike na kompleksnoj ravni slike, koja je, kao što će biti jasno iz onoga što slijedi, svojevrsna tablica sadržaja za čitavu klasu oblika zvanih Julia skupovi. Džulijev skup je skup tačaka nastalih iteracijom kvadratne transformacije: h n → h n−1 2 + C , dinamika u čijoj okolini je nestabilna u odnosu na male perturbacije početne pozicije. Svaka uzastopna vrijednost \(x\) je izvedena iz prethodne; kompleksni broj\(C\) se poziva kontrolni parametar. Ponašanje niza brojeva zavisi od parametra \(C \) i početne tačke \(x_0 \). Ako popravimo \(C \) i promijenimo \(x_0 \) u polju kompleksnih brojeva, dobićemo Julia skup. Ako popravimo \(x_0 \) = 0 i promijenimo \(C \), dobićemo Mandelbrotov skup (\(M \)). To nam govori kakav Julia skup treba da očekujemo sa određenim izborom \(C\). Svaki kompleksni broj \(C \) ili pripada oblasti \(M \) (crno na slici 3) ili ne. \(C \) pripada \(M \) ako i samo ako "kritična tačka" \(x_0 \) = 0 ne teži beskonačnosti. Skup \(M \) se sastoji od svih tačaka \(C \) koje su povezane sa povezanim Julia skupovima, ali ako tačka \(C \) leži izvan skupa \(M \), pridruženi Julia skup je isključen. Granica skupa \(M \) određuje trenutak matematičke fazne tranzicije za Julia skupove x n → x n−1 2 + C . Kada parametar \(C \) napusti \(M \), Julia skupovi gube svoju povezanost, figurativno govoreći, eksplodiraju i pretvaraju se u prašinu. Kvalitativni skok koji se javlja na granici \(M\) također utječe na područje uz granicu. Složena dinamička struktura graničnog regiona može se približno prikazati bojenjem (uslovno) u različite boje zona sa istim vremenom „bezanja u beskonačnost početne tačke \(x_0 \) = 0”. One vrijednosti \(C \) (jedna nijansa) koje zahtijevaju određeni broj iteracija da bi kritična tačka bila izvan kruga radijusa \(N \) popunjavaju prazninu između dvije linije. Kako se približavamo granici \(M \), potreban broj iteracija se povećava. Poenta je prisiljena sve više lutati krivudavim stazama u blizini seta Julia. Mandelbrotov skup utjelovljuje proces tranzicije iz reda u haos.

Zanimljivo je pratiti put kojim je Mandelbrot išao do svojih otkrića. Benois je rođen u Varšavi 1924. godine, 1936. porodica je emigrirala u Pariz. Nakon što je završio Politehničku školu, a potom i univerzitet u Parizu, Mandelbrot se preselio u Sjedinjene Države, gdje je također studirao na Kalifornijskom institutu za tehnologiju. Godine 1958. zaposlio se u IBM istraživačkom centru u Yorktownu. Uprkos čisto primenjenim aktivnostima kompanije, njegova pozicija mu je omogućila da sprovodi istraživanja u različitim oblastima. Radeći u oblasti ekonomije, mladi specijalista je počeo da proučava statistiku cena pamuka tokom dužeg vremenskog perioda (više od 100 godina). Analizirajući simetriju dugoročnih i kratkoročnih kolebanja cena, primetio je da su ove fluktuacije tokom dana delovale nasumično i nepredvidivo, ali redosled takvih promena nije zavisio od razmera. Da bi riješio ovaj problem, on je prvi koristio svoj razvoj buduće teorije fraktala i grafički prikaz proučavanih procesa.

Zainteresovan za različite oblasti nauke, Mandelbrot se okrenuo matematičkoj lingvistici, a zatim je došao red na teoriju igara. Predložio je i svoj pristup ekonomiji, ukazujući na sređivanje vaga u širenju malih i velikih gradova. Proučavajući malo poznati rad engleskog naučnika Lewisa Richardsona, objavljen nakon smrti autora, Mandelbrot se susreo s fenomenom obale. U članku "Koja je dužina obale Velike Britanije?" detaljno istražuje ovo pitanje, o čemu je malo ko razmišljao prije njega, i dolazi do neočekivanih zaključaka: dužina obale je ... beskonačna! Što ga preciznije pokušate izmjeriti, to je veća njegova vrijednost!

Da bi opisao takve pojave, Mandelbrotu je palo na pamet da krene od ideje dimenzije. Fraktalna dimenzija objekta služi kao kvantitativna karakteristika jedne od njegovih karakteristika, odnosno ispunjenosti prostora.

Definicija koncepta fraktalne dimenzije seže u rad Felixa Hausdorffa, objavljenog 1919. godine, a konačno ju je formulirao Abram Samoilovich Besikovich. Fraktalna dimenzija - mjera detalja, izlomljenosti, neravnine fraktalnog objekta. U euklidskom prostoru, topološka dimenzija je uvijek određena cijelim brojem (dimenzija tačke je 0, prave je 1, ravni je 2, tijela je 3). Ako pratimo, na primjer, projekciju na ravan kretanja Brownove čestice, koja bi se navodno trebala sastojati od segmenata prave linije, odnosno imati dimenziju 1, vrlo brzo će se ispostaviti da njen trag ispunjava gotovo cijelu ravan . Ali dimenzija ravni je 2. Neslaganje između ovih vrijednosti daje nam za pravo da ovu "krivulju" pripišemo fraktalima, a njenu međusobnu (razlomačku) dimenziju nazovemo fraktalnom. Ako uzmemo u obzir haotično kretanje čestice u volumenu, fraktalna dimenzija putanje će biti veća od 2, ali manja od 3. Ljudske arterije, na primjer, imaju fraktalnu dimenziju od približno 2,7. Rezultati Ivanova, spomenuti na početku članka, koji se odnose na mjerenje površine pora silika gela, koji se ne mogu tumačiti u okviru običnih euklidskih ideja, nalaze razumno objašnjenje kada se koristi teorija fraktala.

Dakle, sa matematičke tačke gledišta, fraktal je skup za koji je dimenzija Hausdorff-Besikovich striktno veća od njegove topološke dimenzije i može biti (i najčešće jeste) frakciona.

Treba naglasiti da fraktalna dimenzija objekta ne opisuje njegov oblik, a objekti koji imaju istu dimenziju, ali su generirani različitim mehanizmima formiranja često uopće ne liče jedni na druge. Fizički fraktali imaju prilično statističku samosličnost.

Frakcijsko mjerenje vam omogućava da izračunate karakteristike koje se ne mogu jasno definirati na bilo koji drugi način: stepen neravnine, diskontinuiteta, hrapavosti ili nestabilnosti objekta. Na primjer, krivudava obala, unatoč neizmjernosti svoje dužine, ima hrapavost svojstvenu samo njoj. Mandelbrot je ukazao na načine izračunavanja frakcijskih mjerenja objekata u okolnoj stvarnosti. Stvarajući svoju geometriju, iznio je zakon nesređenih oblika koji se javljaju u prirodi. Zakon je rekao: stepen nestabilnosti je konstantan na različitim razmjerima.

Posebna vrsta fraktala su vremenskih fraktala. Godine 1962. Mandelbrot je bio suočen sa izazovom eliminisanja buke na telefonskim linijama koja je stvarala probleme kompjuterskim modemima. Kvalitet prijenosa signala ovisi o vjerovatnoći greške. Inženjeri su se borili s problemom smanjenja buke, smišljajući zagonetne i skupe trikove, ali nisu dobili impresivne rezultate. Na osnovu rada osnivača teorije skupova Georga Cantora, Mandelbrot je pokazao da se pojava buke – generiranje haosa – u principu ne može izbjeći, pa stoga predložene metode bavljenja njima neće donijeti rezultate. U potrazi za obrascima u nastanku buke, dobija "kantorsku prašinu" - fraktalni slijed događaja. Zanimljivo je da raspodjela zvijezda u Galaksiji ima iste zakone:

"Supstanca" ravnomerno raspoređena duž inicijatora (jedan segment vremenske ose) je podvrgnuta delovanju centrifugalnog vrtloga, koji je "pomeće" do krajnjih trećina intervala... curdling može se nazvati bilo koja kaskada nestabilnih stanja, koja u konačnici dovodi do zgušnjavanja materije, a pojam svježi sir može odrediti volumen unutar kojeg određena fizička karakteristika postaje - kao rezultat sirenja - izuzetno koncentrirana.

Haotični fenomeni, kao što su atmosferska turbulencija, pokretljivost kore, itd., pokazuju slično ponašanje na različitim vremenskim skalama, baš kao što skali nepromjenjivi objekti pokazuju slične strukturne obrasce na različitim prostornim skalama.

Kao primjer, predstavljamo nekoliko tipičnih situacija u kojima je korisno koristiti koncepte fraktalne strukture. Profesor sa Univerziteta Kolumbija Christopher Scholz specijalizirao se za proučavanje oblika i strukture čvrste materije Zemlje, proučavao je zemljotrese. Godine 1978. pročitao je Mandelbrotove fraktale: oblik, slučajnost i dimenzija. » i pokušao primijeniti teoriju na opis, klasifikaciju i mjerenje geofizičkih objekata. Šolc je otkrio da fraktalna geometrija daje nauci efikasan metod za opisivanje neobičnog, neravnog pejzaža Zemlje. Fraktalna dimenzija pejzaža planete otvara vrata razumijevanju njegovih najvažnijih karakteristika. Metalurzi su otkrili istu stvar u drugačijem obimu - nanesenu na površine različitih vrsta čelika. Konkretno, fraktalno mjerenje površine metala često omogućava procjenu njegove čvrstoće. Ogroman broj fraktalnih objekata proizvodi fenomen kristalizacije. Najčešći tip fraktala koji nastaje tokom rasta kristala su dendriti, izuzetno su rasprostranjeni u prirodi. Ansambli nanočestica često demonstriraju implementaciju "Lewy prašine". Ovi ansambli, u kombinaciji sa apsorbovanim rastvaračem, formiraju prozirne kompakte - Levy naočare, potencijalno važne materijale za fotoniku.

Budući da se fraktali ne izražavaju u primarnim geometrijskim oblicima, već u algoritmima, skupovima matematičkih postupaka, jasno je da se ova oblast matematike počela razvijati skokovima i granicama zajedno sa pojavom i razvojem moćnih računara. Haos je, zauzvrat, doveo do novih kompjuterskih tehnologija, posebnih grafičkih tehnika koje su sposobne reproducirati zadivljujuće strukture nevjerovatne složenosti nastale raznim vrstama poremećaja. U doba interneta i personalnih kompjutera, ono što je u vrijeme Mandelbrota bilo velike teškoće postalo je lako dostupno svima. Ali najvažnije u njegovoj teoriji, naravno, nije bilo stvaranje lijepih slika, već zaključak da je ovaj matematički aparat prikladan za opisivanje složenih prirodnih pojava i procesa koji do tada u nauci uopće nisu razmatrani. Repertoar algoritamskih elemenata je neiscrpan.

Savladavanjem jezika fraktala, možete opisati oblik oblaka tako jasno i jednostavno kao što arhitekt opisuje zgradu koristeći crteže koji koriste jezik tradicionalne geometrije.<...>Prošlo je samo nekoliko decenija otkako je Benoit Mandelbrot izjavio: „Geometrija prirode je fraktalna!“ Danas već možemo pretpostaviti mnogo više, naime da je fraktalnost primarni princip za konstruisanje svih prirodnih objekata bez izuzetka.

U zaključku, dozvolite mi da vašoj pažnji predstavim set fotografija koje ilustruju ovaj zaključak i fraktale napravljene pomoću kompjuterskog programa fraktalni istraživač. I naš sljedeći članak bit će posvećen problemu korištenja fraktala u kristalnoj fizici.

Post Scriptum

Od 1994. do 2013. godine u pet tomova objavljen je jedinstveni rad ruskih naučnika "Atlas vremenskih varijacija u prirodnim antropogenim i društvenim procesima" - izvor materijala bez premca koji uključuje podatke praćenja svemira, biosfere, litosfere, atmosfere, hidrosfere, društvenih i tehnogene sfere i sfere koje se odnose na zdravlje i kvalitet života ljudi. U tekstu se detaljno navode podaci i rezultati njihove obrade, porede se karakteristike dinamike vremenskih serija i njihovih fragmenata. Jedinstvena prezentacija rezultata omogućava dobijanje uporedivih rezultata da bi se identifikovali zajednički i individualne osobine dinamiku procesa i uzročne veze među njima. Eksperimentalni materijal pokazuje da su procesi u različitim oblastima, prvo, slični, a kao drugo, u većoj ili manjoj mjeri međusobno povezani.

Dakle, atlas je sumirao rezultate interdisciplinarnih istraživanja i predstavio komparativnu analizu potpuno različitih podataka u najširem vremenskom i prostornom rasponu. Knjiga pokazuje da su „procesi koji se dešavaju u zemaljskim sferama posledica velikog broja faktora međusobnog delovanja koji u različitim oblastima (i u različito vreme) izazivaju različite reakcije“, što ukazuje na „potrebu integrisani pristup na analizu geodinamičkih, svemirskih, društvenih, ekonomskih i medicinskih opservacija”. Ostaje da izrazimo nadu da će ovi suštinski značajni radovi biti nastavljeni.

. Jürgens H., Peitgen H.-O., Zaupe D. Jezik fraktala // U svijetu znanosti. 1990. br. 10. S. 36–44.
. Atlas vremenskih varijacija prirodnih antropogenih i društvenih procesa. Tom 1: Red i haos u litosferi i drugim sferama. M., 1994; Tom 2: Ciklična dinamika u prirodi i društvu. M., 1998; T. 3: Prirodni i društvene sfere kao dio okoline i kao objekti uticaja. M., 2002; T. 4: Čovjek i njegove tri sredine. M., 2009. V. 5: Čovjek i njegove tri sredine. M., 2013.