Elementarne transformacije la u sistema. Sistemi linearnih jednačina. §8. Vektorski prostori

Dva sistema linearne jednačine iz jednog skupa x 1 ,..., x n nepoznanica i, respektivno, iz m i p jednačina

Zovu se ekvivalentni ako se njihova rješenja skupovi i poklapaju (tj. podskupovi i u K n se poklapaju, ). To znači da: ili su istovremeno prazni podskupovi (tj. oba sistema (I) i (II) su nekonzistentna), ili su istovremeno neprazni, i (tj., svako rješenje sistema I je rješenje za sistem II, a svaki sistem rješenja II je rješenje za sistem I).

Primjer 3.2.1.

Gaussova metoda

Plan za algoritam koji je predložio Gauss bio je prilično jednostavan:

1. primjenjuju sekvencijalne transformacije na sistem linearnih jednadžbi koje ne mijenjaju skup rješenja (na taj način čuvamo skup rješenja originalnog sistema) i idemo na ekvivalentni sistem koji ima „jednostavnu formu“ (tzv. korak obrazac);
2. za " jednostavan tip" sistem (sa matricom koraka) opisuju skup rješenja koji se poklapa sa skupom rješenja originalnog sistema.

Imajte na umu da je sličan metod, "fan-chen", već bio poznat u drevnoj kineskoj matematici.

Elementarne transformacije sistema linearnih jednadžbi (redovi matrica)

Definicija 3.4.1 (elementarna transformacija tipa 1). Kada se i-ta jednačina sistema doda k-toj jednačini, pomnožena brojem (oznaka: (i)"=(i)+c(k); tj. samo jedna i-ta jednačina (i) se zamjenjuje novom jednadžbom (i)"=(i)+c(k) ). Nova i-ta jednačina ima oblik (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a u +ca kn)x n =b i +cb k, ili, ukratko,

To jest, u novoj i-toj jednačini a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.

Definicija 3.4.2 (elementarna transformacija tipa 2). Kada se i -ta i k -ta jednačina zamijene, preostale jednačine se ne mijenjaju (oznaka: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; za koeficijente to znači sljedeće: za j= 1,.. .,n

Napomena 3.4.3. Radi praktičnosti, u specifičnim proračunima možete koristiti elementarnu transformaciju trećeg tipa: i-ta jednačina se množi brojem koji nije nula , (i)"=c(i) .

Prijedlog 3.4.4. Ako smo sa sistema I prešli na sistem II koristeći konačan broj elementarnih transformacija 1. i 2. tipa, onda se iz sistema II možemo vratiti na sistem I takođe koristeći elementarne transformacije 1. i 2. tipa.

Dokaz.

Napomena 3.4.5. Tvrdnja je tačna i sa uključivanjem elementarne transformacije 3. tipa u broj elementarnih transformacija. Ako i (i)"=c(i) , tada i (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.Poslije dosljedna primjena konačan broj elementarnih transformacija 1. ili 2. tipa u sistem linearnih jednačina proizvodi sistem linearnih jednačina ekvivalentan originalnom.

Dokaz. Imajte na umu da je dovoljno razmotriti slučaj prijelaza iz sistema I u sistem II koristeći jednu elementarnu transformaciju i dokazati inkluziju za skupove rješenja (pošto se, na osnovu dokazane tvrdnje, iz sistema II možemo vratiti na sistem I i stoga imaćemo inkluziju, tj. biće dokazana jednakost).

Neka – sistem vektora m iz . Osnovne elementarne transformacije vektorskog sistema su

1. - dodavanje jednog od vektora (vektora) linearne kombinacije ostalih.

2. - množenje jednog od vektora (vektora) brojem koji nije jednak nuli.

3. preuređivanje dva vektora () na mjestima. Sistemi vektora će se zvati ekvivalentni (oznaka) ako postoji lanac elementarnih transformacija koji transformiše prvi sistem u drugi.

Zapazimo svojstva uvedenog koncepta vektorske ekvivalencije

(refleksivnost)

Iz toga slijedi da (simetrija)

Ako i , tada (tranzitivnost) Teorema. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, i ekvivalentan mu je, onda je sistem linearno nezavisan. Dokaz. Očigledno, dovoljno je dokazati teoremu za sistem dobijen upotrebom jedne elementarne transformacije. Pretpostavimo da je sistem vektora linearno nezavisan. Zatim sledi da . Neka se sistem dobije upotrebom jedne elementarne transformacije. Očigledno, preuređenje vektora ili množenje jednog od vektora brojem koji nije jednak nuli ne mijenja linearnu nezavisnost sistema vektora. Pretpostavimo sada da se sistem vektora dobija iz sistema dodavanjem vektoru linearne kombinacije ostalih, . Potrebno je utvrditi da (1) slijedi da je , onda iz (1) dobijamo . (2)

Jer sistem linearno nezavisan, onda iz (2) slijedi da za sve .

Odavde dobijamo . Q.E.D.

57. Matrice. zbrajanje matrica, množenje matrice skalarom matrice kao vektorski prostor njegova dimenzija.

Tip matrice: kvadrat

Sabiranje matrice

Svojstva sabiranja matrice:

1.komutativnost: A+B = B+A;

Množenje matrice brojem

Množenje matrice A brojem ¥ (oznaka: ¥A) sastoji se od konstruisanja matrice B čiji se elementi dobijaju množenjem svakog elementa matrice A ovim brojem, odnosno svaki element matrice B jednak je: Bij= ¥Aij

Svojstva množenja matrica brojem:

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

4. λ(A+B) = λA + λB

Vektor reda i vektor kolone

Matrice veličine m x 1 i 1 x n su elementi prostora K^n i K^m, redom:

matrica veličine m x1 naziva se vektor stupac i ima posebnu oznaku:

Matrica veličine 1 x n naziva se vektor reda i ima posebnu oznaku:

58. Matrice. Sabiranje i množenje matrica. Matrice kao prsten, svojstva matričnog prstena.

Matrica je pravokutna tablica brojeva koja se sastoji od m redova jednake dužine ili n strobova jednake dužine.

aij je matrični element koji se nalazi u i-tom redu i j-toj koloni.

Tip matrice: kvadrat

Kvadratna matrica je matrica s jednakim brojem stupaca i redova.

Sabiranje matrice

Sabiranje matrica A + B je operacija pronalaženja matrice C čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju svih odgovarajućih elemenata matrice A i B, odnosno svaki element matrice je jednak Cij = Aij + Bij

Svojstva sabiranja matrice:

1.komutativnost: A+B = B+A;

2. asocijativnost: (A+B)+C =A+(B+C);

3. sabiranje sa nultom matricom: A + Θ = A;

4.postojanje suprotne matrice: A + (-A) = Θ;

Sva svojstva linearnih operacija ponavljaju aksiome linearnog prostora i stoga vrijedi teorema:

Skup svih matrica iste veličine mxn sa elementima iz polja P (polje svih realnih ili kompleksni brojevi) formira linearni prostor nad poljem P (svaka takva matrica je vektor ovog prostora).

Množenje matrice

Množenje matrice (oznaka: AB, rjeđe sa znakom množenja A x B) je operacija izračunavanja matrice C čiji je svaki element jednak zbiru proizvoda elemenata u odgovarajućem redu prvog faktora i stupcu od drugi.

Broj stupaca u matrici A mora odgovarati broju redova u matrici B, drugim riječima, matrica A mora biti konzistentna sa matricom B. Ako matrica A ima dimenzije m x n, B - n x k, tada je dimenzija njihovog proizvoda AB=C je m x k.

Svojstva množenja matrice:

1. asocijativnost (AB)C = A(BC);

2.nekomutativnost (u opštem slučaju): AB BA;

3. proizvod je komutativan u slučaju množenja sa matricom identiteta: AI = IA;

4.distributivnost: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5. asocijativnost i komutativnost u odnosu na množenje brojem: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

59.*Invertibilne matrice. Singularne i nesingularne elementarne transformacije matričnih redova. Elementarne matrice. Množenje elementarnim matricama.

Inverzna matrica - takva matrica A−1, kada se pomnoži s kojim, originalna matrica A rezultira matricom identiteta E:

Elementarne konverzije nizova zovu se:

Slično definisano elementarne transformacije stupaca.

Elementarne transformacije reverzibilan.

Oznaka označava da se matrica može dobiti elementarnim transformacijama (ili obrnuto).

§7. Sistemi linearnih jednačina

Ekvivalentni sistemi. Elementarne transformacije sistema linearnih jednačina.

Neka WITH– polje kompleksnih brojeva. Jednačina oblika

Gdje
, naziva se linearna jednadžba sa n nepoznato
. Naručeni set
,
naziva se rješenjem jednadžbe (1) ako .

Sistem m linearne jednačine sa n nepoznanice je sistem jednadžbi oblika:

- koeficijenti sistema linearnih jednačina, - besplatni članovi.

Pravougaoni sto

,

zove se matrica veličine
. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju: - i-ti red matrice,
- k-ti stupac matrice. Matrix A takođe naznačiti
ili
.

Sljedeće transformacije reda matrice A nazivaju se elementarnim:
) izuzetak nultog reda; ) množenje svih elemenata bilo kojeg niza brojem
; ) dodavanje bilo kojem nizu bilo kojeg drugog niza pomnoženog sa
. Slične transformacije matričnih stupaca A nazivaju se elementarne matrične transformacije A.

Prvi element koji nije nula (brojeći slijeva nadesno) bilo kojeg reda matrice A naziva se vodećim elementom te linije.

Definicija. Matrix
naziva se postupno ako su ispunjeni sljedeći uslovi:

1) nulti redovi matrice (ako ih ima) nalaze se ispod nenultih;

2) ako
vodeći elementi redova matrice, zatim

Bilo koja matrica A koja nije nula može se svesti na ešalon matricu koristeći elementarne transformacije u redovima.

Primjer. Hajde da predstavimo matricu
na matricu koraka:
~
~
.

Matrica sastavljena od sistemskih koeficijenata linearne jednačine (2) nazivaju se glavnom matricom sistema. Matrix
dobijena dodavanjem kolone slobodnih termina naziva se proširena matrica sistema.

Uređeni skup se naziva rješenjem sistema linearnih jednačina (2) ako je rješenje svake linearne jednačine ovog sistema.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se konzistentan ako ima barem jedno rješenje, a nekonzistentan ako nema rješenja.

Sistem linearnih jednadžbi naziva se definitivnim ako ima jedno rješenje, a neodređenim ako ima više rješenja.

Sledeće transformacije sistema linearnih jednačina nazivaju se elementarnim:

) isključenje iz sistema jednačina oblika ;

) množenjem obje strane bilo koje jednadžbe
,
;

) dodavanje bilo kojoj jednačini bilo koje druge jednačine pomnožene sa,.

Dva sistema linearnih jednadžbi iz n nepoznate se nazivaju ekvivalentnim ako nisu kompatibilne ili se njihovi skupovi rješenja poklapaju.

Teorema. Ako se jedan sistem linearnih jednačina dobije iz drugog elementarnim transformacijama kao što je ), ), onda je ekvivalentan izvornom.

Rješavanje sistema linearnih jednačina eliminacijom nepoznanica (Gaussova metoda).

Neka sistem bude dat m linearne jednačine sa n nepoznato:

Ako sistem (1) sadrži jednačinu oblika

onda ovaj sistem nije kompatibilan.

Pretpostavimo da sistem (1) ne sadrži jednačinu oblika (2). Neka u sistemu (1) bude koeficijent varijable x 1 u prvoj jednačini
(ako to nije tako, onda ćemo preuređivanjem jednadžbi to postići, jer nisu svi koeficijenti za x 1 su jednake nuli). Primijenimo sljedeći lanac elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina (1):

, dodati drugoj jednačini;

Prva jednačina pomnožena sa
, dodati trećoj jednadžbi i tako dalje;

Prva jednačina pomnožena sa
, dodati posljednjoj jednačini sistema.

Kao rezultat, dobijamo sistem linearnih jednačina (u nastavku ćemo koristiti skraćenicu CLU za sistem linearnih jednačina) ekvivalentan sistemu (1). Može se ispostaviti da u rezultirajućem sistemu nema nijedne jednadžbe sa brojem i, i 2, ne sadrži nepoznato x 2. Neka k ovo je najmanje prirodni broj to je nepoznato x k sadržan je u najmanje jednoj jednadžbi s brojem i, i 2. Tada rezultujući sistem jednačina ima oblik:

Sistem (3) je ekvivalentan sistemu (1). Primijenimo sada na podsistem
sistemi linearnih jednadžbi (3) koji su primijenjeni na SLE (1). I tako dalje. Kao rezultat ovog procesa dolazimo do jednog od dva ishoda.

1. Dobijmo SLE koji sadrži jednačinu oblika (2). U ovom slučaju, SLU (1) je nedosljedan.

2. Elementarne transformacije primijenjene na SLE (1) ne dovode do sistema koji sadrži jednačinu oblika (2). U ovom slučaju, SLE (1) elementarnim transformacijama
svodi se na sistem jednačina oblika:

(4)

gdje, 1< k < l < . . .< s,

Sistem linearnih jednačina oblika (4) naziva se stepenasti. Ovdje su moguća sljedeća dva slučaja.

A) r= n, tada sistem (4) ima oblik

(5)

Sistem (5) ima jedinstveno rješenje. Posljedično, sistem (1) također ima jedinstveno rješenje.

B) r< n. U ovom slučaju, nepoznanice
u sistemu (4) nazivaju se glavne nepoznate, a preostale nepoznate u ovom sistemu nazivaju se slobodnim (njihov broj je jednak n- r). Dodijelimo proizvoljne numeričke vrijednosti slobodnim nepoznanicama, tada će SLE (4) imati isti oblik kao sistem (5). Iz njega se jedinstveno određuju glavne nepoznanice. Dakle, sistem ima rješenje, odnosno konzistentan je. Pošto su slobodnim nepoznanicama date proizvoljne numeričke vrijednosti iz WITH, tada je sistem (4) neizvjestan. Shodno tome, sistem (1) je takođe nesiguran. Izražavanjem glavnih nepoznanica u SLE (4) u terminima slobodnih nepoznanica, dobijamo sistem koji se naziva opšte rešenje sistema (1).

Primjer. Rešite sistem linearnih jednačina koristeći metodu G aussa

Napišimo proširenu matricu sistema linearnih jednadžbi i, koristeći elementarne transformacije u redovima, svedemo je na matricu koraka:

~

~
~
~

~ . Koristeći rezultujuću matricu, vraćamo sistem linearnih jednadžbi:
Ovaj sistem je ekvivalentan originalnom sistemu. Uzmimo onda kao glavne nepoznanice
besplatno nepoznato. Izrazimo glavne nepoznanice samo u terminima slobodnih nepoznanica:

Primljeno opšte rešenje SLU. Neka onda

(5, 0, -5, 0, 1) – posebno rješenje SNL-a.

Zadaci za nezavisna odluka

1. Pronađite opšte rješenje i jedno posebno rješenje za sistem jednačina eliminacijom nepoznanica:

1)
2)

4)
6)

2. Pronađite na različita značenja parametar A opšte rešenje sistema jednačina:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Vektorski prostori

Koncept vektorskog prostora. Najjednostavnija svojstva.

Neka V ≠ Ø, ( F, +,∙) – polje. Elemente polja ćemo nazvati skalarima.

Display φ : F× V –> V naziva se operacija množenja elemenata skupa V skalarima sa terena F. Označimo φ (λ,a) kroz λa proizvod elementa A na skalar λ .

Definicija. Mnogi V sa datom algebarskom operacijom sabiranja elemenata skupa V i množenje elemenata skupa V skalarima sa terena F naziva se vektorski prostor nad poljem F ako vrijede sljedeći aksiomi:

Primjer. Neka F polje, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a i F (i=)). Svaki element seta F n pozvao n-dimenzionalni aritmetički vektor. Hajde da predstavimo operaciju sabiranja n-dimenzionalni vektori i množenje n-dimenzionalni vektor na skalar iz polja F. Neka
. Stavimo = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Mnogi F n u odnosu na uvedene operacije je vektorski prostor i zove se n-dimenzionalni aritmetički vektorski prostor nad poljem F.

Neka V- vektorski prostor iznad polja F, ,
. Ostvaruju se sljedeća svojstva:

1)
;

3)
;

4)
;

Dokaz o imovini 3.

Od jednakosti prema zakonu redukcije u grupi ( V,+) imamo
.

Linearna zavisnost, nezavisnost vektorskih sistema.

Neka V– vektorski prostor iznad polja F,

. Vektor se zove linearna kombinacija vektorski sistemi
. Skup svih linearnih kombinacija sistema vektora naziva se linearni raspon ovog sistema vektora i označava se sa .

Definicija. Sistem vektora se naziva linearno zavisnim ako takvi skalari postoje
nisu svi jednaki nuli

Ako je jednakost (1) zadovoljena ako i samo ako λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, tada se sistem vektora naziva linearno nezavisnim.

Primjer. Saznajte da li je sistem vektora = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) prostor R 3 linearno zavisan ili nezavisan.

Rješenje. Neka je λ 1, λ 2, λ 3
I

 |=> (0,0,0) – rješenje sistema. Dakle, sistem vektora je linearno nezavisan.

Svojstva linearne zavisnosti i nezavisnosti sistema vektora.

1. Sistem vektora koji sadrži najmanje jedan nulti vektor je linearno zavisan.

2. Sistem vektora koji sadrži linearno zavisan podsistem je linearno zavisan.

3. Sistem vektora, gdje
je linearno zavisna ako i samo ako je barem jedan vektor ovog sistema različit od vektora linearna kombinacija vektora koji mu prethode.

4. Ako je sistem vektora linearno nezavisan, i sistem vektora
linearno zavisna, zatim vektor može se predstaviti kao linearna kombinacija vektora i, štaviše, na jedinstven način.

Dokaz. Pošto je sistem vektora linearno zavisan, onda
nisu svi jednaki nuli

U vektorskoj jednakosti (2) λ m+1 ≠ 0. Pod pretpostavkom da λ m+1 =0, onda iz (2) => slijedi da je sistem vektora linearno zavisan, jer λ 1 , λ 2 , … , λ m nisu svi jednaki nuli. Došli smo do kontradikcije sa uslovom. Od (1) => gdje
.

Neka je vektor također predstavljen u obliku: Zatim iz vektorske jednakosti
zbog linearne nezavisnosti sistema vektora sledi da
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Neka su data dva sistema vektora i
, m>k. Ako se svaki vektor sistema vektora može predstaviti kao linearna kombinacija sistema vektora, onda je sistem vektora linearno zavisan.

Osnova, rang vektorskog sistema.

Konačan sistem vektora prostora V preko terena F označiti sa S.

Definicija. Bilo koji linearno nezavisni podsistem sistema vektora S naziva se osnovom sistema vektora S, ako je bilo koji vektor sistema S može se predstaviti kao linearna kombinacija sistema vektora.

Primjer. Pronađite osnovu vektorskog sistema = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Sistem vektora je linearno nezavisan, jer se prema svojstvu 5 sistem vektora dobija iz sistema vektora. dodatak osnove elektromehanotronika: obrazovnidodatak osnove elektrotehnika" ;...

Elementarne transformacije uključuju:

1) Dodavanje na obje strane jedne jednačine odgovarajućih dijelova druge, pomnožene istim brojem, koji nije jednak nuli.

2) Preuređenje jednačina.

3) Uklanjanje iz sistema jednačina koje su identiteti za sve x.

KRONECKER–CAPELLI TEOREMA

(uslov kompatibilnosti sistema)

(Leopold Kronecker (1823-1891) njemački matematičar)

Teorema: Sistem je konzistentan (ima najmanje jedno rješenje) ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice.

Očigledno, sistem (1) se može zapisati kao:

x 1 + x 2 + … + x n

Dokaz.

1) Ako rješenje postoji, onda je stupac slobodnih termina linearna kombinacija kolona matrice A, što znači dodavanje ove kolone matrici, tj. prijelaz A®A * ne mijenja rang.

2) Ako je RgA = RgA *, to znači da imaju isti osnovni mol. Kolona slobodnih termina je linearna kombinacija kolona baznog mola, tako da je gornja notacija tačna.

Primjer. Odredite kompatibilnost sistema linearnih jednadžbi:

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Sistem je nedosledan.

Primjer. Odrediti kompatibilnost sistema linearnih jednačina.

A = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Sistem je kolaborativan. Rješenja: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 GAUSOVA METODA

(Carl Friedrich Gauss (1777-1855) njemački matematičar)

Za razliku od matrične metode i Cramerove metode, Gaussova metoda se može primijeniti na sisteme linearnih jednačina sa proizvoljnim brojem jednačina i nepoznanica. Suština metode je uzastopno uklanjanje nepoznatih.

Razmotrimo sistem linearnih jednačina:

Podijelite obje strane 1. jednačine sa 11 ¹ 0, a zatim:

1) pomnožite sa 21 i oduzmite od druge jednačine

2) pomnožite sa 31 i oduzmite od treće jednačine

, Gdje d 1 j = a 1 j /a 11, j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Primjer. Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

, odakle dobijamo: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Primjer. Rešite sistem Gausovom metodom.

Kreirajmo proširenu matricu sistema.

Dakle, originalni sistem se može predstaviti kao:

, odakle dobijamo: z = 3; y = 2; x = 1.

Dobijeni odgovor se poklapa sa odgovorom dobijenim za ovaj sistem Cramer metodom i matričnom metodom.

Da to riješite sami:

Odgovor: (1, 2, 3, 4).

TEMA 3. ELEMENTI VEKTORSKE ALGEBRE

OSNOVNE DEFINICIJE

Definicija. Vector naziva se usmjereni segment (uređeni par tačaka). Vektori takođe uključuju null vektor čiji se početak i kraj podudaraju.

Definicija. dužina (modul) vektor je udaljenost između početka i kraja vektora.

Definicija. Vektori se nazivaju kolinearno, ako se nalaze na istim ili paralelnim linijama. Nulti vektor je kolinearan sa bilo kojim vektorom.

Definicija. Vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne.

Kolinearni vektori su uvijek koplanarni, ali nisu svi koplanarni vektori kolinearni.

Definicija. Vektori se nazivaju jednaka, ako su kolinearni, identično usmjereni i imaju iste module.

Svi vektori se mogu dovesti do zajedničkog porijekla, tj. konstruisati vektore koji su, respektivno, jednaki podacima i imaju zajedničko poreklo. Iz definicije jednakosti vektora slijedi da svaki vektor ima beskonačno mnogo vektora jednakih njemu.

Definicija. Linearne operacije preko vektora naziva se sabiranje i množenje brojem.

Zbir vektora je vektor -

posao - , i kolinearna je.

Vektor je kosmjeran s vektorom ( ) ako je a > 0.

Vektor je suprotno usmjeren od vektora ( ¯ ), ako je a< 0.

SVOJSTVA VEKTORA

1) + = + - komutativnost.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asocijativnost

6) (a+b) = a + b - distributivnost

7) a( + ) = a + a

Definicija.

1) Osnova u prostoru se nazivaju bilo koja 3 nekoplanarna vektora uzeta određenim redom.

2) Osnova na ravni se nazivaju bilo koja 2 nekolinearna vektora uzeta određenim redom.

3)Osnova Poziva se bilo koji vektor koji nije nula na liniji.

U nastavku razmatramo sisteme linearnih jednadžbi nad poljem varijabli DODATNA DEFINICIJA. Za dva sistema linearnih jednačina se kaže da su ekvivalentna ako je svako rješenje jednog sistema rješenje drugog sistema.

Sljedeće rečenice izražavaju svojstva ekvivalencije koja proizlaze iz definicije ekvivalencije i gore navedenih svojstava konzistentnosti sistema.

PREDLOG 2.2. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako je svaki od ovih sistema posledica drugog sistema.

PREDLOG 2.3. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako se skup svih rješenja jednog sistema poklapa sa skupom svih rješenja drugog sistema.

PREDLOG 2.4. Dva sistema linearnih jednačina su ekvivalentna ako i samo ako su predikati definisani ovim sistemima ekvivalentni.

DEFINICIJA. Sljedeće transformacije nazivaju se elementarnim transformacijama sistema linearnih jednačina:

(a) množenje obje strane neke jednačine sistema skalarom koji nije nula;

(P) dodavanje (oduzimanje) obema stranama bilo koje jednačine sistema odgovarajućih delova druge jednačine sistema, pomnoženih sa skalarom;

Isključivanje iz sistema ili dodavanje u sistem linearne jednačine sa nultim koeficijentima i nultim slobodnim članom.

TEOREMA 2.5. Ako se jedan sistem linearnih jednačina dobije iz drugog sistema linearnih jednačina kao rezultat lanca elementarnih transformacija, onda su ova dva sistema ekvivalentna.

Dokaz. Neka sistem bude dat

Ako jednu od njegovih jednadžbi, na primjer prvu, pomnožimo sa nenultim skalarom X, dobićemo sistem

Svako rješenje sistema (1) je i rješenje sistema (2).

Obrnuto: ako - bilo koje rješenje sistema (2),

zatim, množenjem prve jednakosti sa i bez mijenjanja sljedećih jednakosti, dobijamo jednakosti koje pokazuju da je vektor rješenje za sistem (1). Prema tome, sistem (2) je ekvivalentan originalnom sistemu (1). Također je lako provjeriti da jedna primjena elementarne transformacije (P) na sistem (1) dovodi do sistema ekvivalentnog originalnom sistemu (1). Pošto je relacija ekvivalencije tranzitivna, ponovljena primena elementarnih transformacija dovodi do sistema jednačina ekvivalentnog originalnom sistemu (1).

KOROLAR 2.6. Ako jednoj od jednačina sistema linearnih jednačina dodate linearnu kombinaciju drugih jednačina sistema, dobićete sistem jednačina koji je ekvivalentan originalnom.

KOROLAR 2.7. Ako iz sistema linearnih jednačina isključite ili mu dodate jednačinu koja je linearna kombinacija drugih jednačina sistema, dobićete sistem jednačina koji je ekvivalentan originalnom sistemu.