Tangenta i normalna površina

Definicija. normalno na površinu u tački N 0 naziva se prava linija koja prolazi kroz tačku N 0 okomita na tangentnu ravan na ovu površinu.

U nekom trenutku površina ima ili samo jednu tangentnu ravan, ili je uopšte nema.

Ako je površina data jednadžbom z = f (x, y), gdje je f (x, y) funkcija diferencibilna u tački M 0 (x 0, y 0), tangentna ravnina u tački N 0 (x 0, y 0, ( x 0 ,y 0)) postoji i ima jednačinu:

Jednačina za normalu na površinu u ovoj tački je:

geometrijskog smisla totalni diferencijal funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je prirast primjene (z-koordinate) tangentne ravni na površinu tokom prijelaza iz tačke (x 0, y 0) ) do tačke (x 0 + Dx, y 0 +Dy).

Kao što se može vidjeti, geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijsko značenje diferencijal funkcije jedne varijable.

Primjer. Naći jednadžbe tangentne ravni i normale na površinu

u tački M(1, 1, 1).

Jednadžba tangentne ravni:

Normalna jednačina:

proračun dvostruki integral u polarnim koordinatama.

Neka je površina D ograničena pravom r = r() i zraci = i = , gdje i r su polarne koordinate tačke na ravni pridružene njenim kartezijanskim koordinatama x i y

Omjeri (slika 5). U ovom slučaju

Komentar. Ako je područje D u Kartezijanske koordinate je zadan jednadžbom koja sadrži binom, na primjer, itd., tada je zgodnije izračunati dvostruki integral nad takvim područjem u polarnim koordinatama.

Dvostruki integral. Osnovne definicije i svojstva.

Dvostruki integrali.

Razmotrimo neku zatvorenu krivu na ravni, čija je jednačina

Skup svih tačaka koje leže unutar krive i na samoj krivulji naziva se zatvoreno područje D. Ako odaberete tačke područja bez uzimanja u obzir tačaka koje leže na krivulji, područje će se zvati otvoreno područje D.

Sa geometrijske tačke gledišta, D je površina figure ograničena konturom.

Podijelimo regiju D na n djelomičnih regija pomoću mreže pravih linija koje su međusobno razmaknute duž x ose rastojanjem Dh i , a duž y ose sa Du i . Uopšteno govoreći, takav redoslijed podjele nije obavezan, moguće je podijeliti regiju na djelomične dijelove proizvoljnog oblika i veličine.

Dobijamo da je površina S podijeljena na elementarne pravokutnike, čije su površine jednake S i = Dx i × Dy i .

U svakoj parcijalnoj oblasti uzimamo proizvoljnu tačku R(h i , y i) i sastavljamo integralni zbir

gdje je f kontinuirana i jednoznačna funkcija za sve tačke domene D.

Ako se broj parcijalnih regija D i beskonačno povećava, tada, očigledno, površina svake parcijalne regije S i teži nuli.

definicija: Ako, kao korak particioniranja domene D teži nuli, integralni sumi imaju konačnu granicu, tada se ova granica naziva dvostruki integral iz funkcije f(x, y) preko domene D.

Uzimajući u obzir činjenicu da je S i = Dx i × Dy i dobijamo:

U gornjem unosu postoje dva znaka S, jer. sumiranje se vrši preko dvije varijable x i y.

Jer podjela integracionog područja je proizvoljna, a izbor tačaka R i je također proizvoljan, onda, s obzirom da su sve oblasti S i iste, dobijamo formulu:

Uslovi za postojanje dvostrukog integrala.

Hajde da formulišemo dovoljne uslove postojanje dvostrukog integrala.

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u zatvorenom domenu D, tada postoji dvostruki integral

Teorema. Ako je funkcija f(x, y) ograničena u zatvorenom domenu D i kontinuirana u njoj svuda osim za konačan broj glatkih linija, tada postoji dvostruki integral.

Svojstva dvostrukog integrala.

3) Ako je D \u003d D 1 + D 2, onda

4) Teorema srednje vrijednosti. Dvostruki integral funkcije f(x, y) jednak je proizvodu vrijednosti ove funkcije u nekoj tački regije integracije i površine regije integracije.

5) Ako je f(x, y) ³ 0 u D, onda .

6) Ako je f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), onda .

#43 Definicija Pretpostavimo da je kriva C je dato vektorskom funkcijom gdje je varijabla s− dužina luka krive. Zatim derivacija vektorske funkcije

Predstavlja jedinični vektor usmjeren duž tangente na datu krivu (slika 1).
U gornjoj formuli α, β i γ − uglovi između tangente i pozitivnog smjera osi O x,O y i O z, odnosno.

Uvodimo vektorsku funkciju definiranu na krivulji C, tako da za skalarna funkcija

Postojao je krivolinijski integral koji se naziva krivolinijski integral druge vrste vektorske funkcije duž krive C i označava se kao

Dakle, po definiciji,

gdje je jedinični vektor tangente na krivu C.
Posljednja formula se također može prepisati u vektorskom obliku:

Gdje.
Ako je kriva C leži u ravni O xy, onda pod pretpostavkom R= 0, dobijamo

Svojstva krivolinijskog integrala druge vrste

Krivolinijski integral druge vrste ima sljedeća svojstva: Neka C označava krivu s ishodištem u tački A i krajnja tačka B. Označiti sa −C krivulja suprotnog smjera - od B to A. Onda

Ako a C− unija krivih C 1 i C 2 (slika 2 iznad), zatim Ako je kriva C je dat parametarski u obliku , onda Ako je kriva C leži u ravni O xy i data je jednačina Tm (pretpostavlja se da je R= 0 i t=x), tada se posljednja formula piše kao

#49 Površina F je data eksplicitno z = z(x,y), (x,y)n D (kompaktna),

gdje z(x,y) ima kontinuirane parcijalne izvode prvog reda u D, funkcija f(x,y,z) je definirana i kontinuirana na F. Tada postoji integral jednak

Dokaz. Za oblasti, dobijamo

Tada će integralni zbroji biti jednaki

Prvi od zbroja je integralni za , drugi se može učiniti proizvoljno malim odabirom dovoljno male particije. Ovo posljednje slijedi iz uniformnog kontinuiteta funkcije f(x,y,z(x,y)) na D.

#40 (nastavak) Dovoljan uslov za postojanje krivolinijski integral Prva vrsta će biti formulisana kasnije, kada pokažemo kako je izračunati.

Definicija krivolinijskog integrala prve vrste u smislu strukture je ista kao i definicija određenog integrala. Dakle, krivolinijski integral prve vrste ima ista svojstva kao i definitivni integral. Predstavljamo ova svojstva bez dokaza.

SVOJSTVA KRIVOLINEARNOG INTEGRALA PRVE VRSTE

1. , gdje je dužina krive .

2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka krivolinijskog integrala prve vrste, tj.

3. Krivolinijski integral prve vrste algebarskog zbira dvije (konačno mnogo) funkcija jednak je algebarskom zbiru krivolinijskih integrala prve vrste ovih funkcija, tj.

4. Ako je kriva podijeljena na dva dijela i , nema zajedničkih unutrašnjih tačaka, onda

(osobina aditivnosti krivolinijskog integrala prve vrste).

5. Ako je funkcija () svuda na krivulji, onda

6. Ako svuda na krivini (),

7. (posledica svojstava 6 i 1) Ako su i najmanji i najveća vrijednost funkcije na krivulji , tada

gdje je dužina krive.

8. (teorema o srednjoj vrijednosti za krivolinijski integral prve vrste) Ako je funkcija kontinuirana na krivulji , tada postoji tačka takva da je jednakost

gdje je dužina krive.

#42 Dužina krivulje.

Ako je integrand f(x, y, z) ≡ 1, onda iz definicije krivolinijskog integrala 1. vrste dobijamo da je on u ovom slučaju jednak dužini krive duž koje se vrši integracija:

Krivulja mase.

Uz pretpostavku da integrand γ (x, y, z) određuje gustinu svake tačke krive, nalazimo masu krive po formuli

3. Pronalazimo momente krive l, argumentirajući na isti način kao u slučaju ravne regije: -

statične momente ravna kriva l oko osa Ox i Oy;

moment inercije prostorne krive u odnosu na ishodište;

· momenti inercije krive u odnosu na koordinatne ose.

4. Koordinate centra mase krive se izračunavaju po formulama

#38(2) Promjena varijabli u trostrukim integralima

Prilikom izračunavanja trostrukog, kao i dvostrukog integrala, često je zgodno izvršiti promjenu varijabli. Ovo omogućava pojednostavljenje oblika domene integracije ili integranda.

Neka je originalni trostruki integral zadan u kartezijanskim koordinatama x, y, z u domeni U:

Potrebno je izračunati ovaj integral u novim koordinatama u, v, w. Odnos između starih i novih koordinata opisan je relacijama:

Pretpostavlja se da su ispunjeni sljedeći uslovi:

1. Funkcije φ, ψ, χ su kontinuirane zajedno sa svojim parcijalnim derivatima;

2. Postoji korespondencija jedan prema jedan između tačaka regiona integracije U u prostoru xyz i tačaka regiona U" u prostoru uvw;

3. Jakobijan transformacije I (u, v, w), jednak

je različit od nule i zadržava konstantan predznak svuda u domenu integracije U.

Tada se formula za promjenu varijabli u trostrukom integralu piše kao:

U gornjem izrazu znači apsolutna vrijednost Jacobian.

#38 Trostruki integrali u sfernim koordinatama

Sferne koordinate tačke M(x,y,z) su tri broja − ρ, φ, θ , gdje je

ρ je dužina radijus vektora tačke M;

φ je ugao formiran projekcijom vektora radijusa na Oxy ravan i Ox osu;

θ je ugao odstupanja radijus vektora od pozitivnog smjera ose Oz (slika 1).

Imajte na umu da se definicije ρ, φ u sfernim i cilindričnim koordinatama razlikuju jedna od druge.

Sferne koordinate tačke odnose se na njene kartezijanske koordinate

Jakobijan prijelaza iz kartezijanskih u sferne koordinate ima oblik:

Proširujući determinantu u drugoj koloni, dobijamo

Prema tome, apsolutna vrijednost Jakobijana je

Stoga formula za promjenu varijabli pri pretvaranju kartezijanskih koordinata u sferne ima oblik:

Triple Integral pogodnije je računati u sfernim koordinatama kada je domen integracije U lopta (ili neki njen dio) i/ili kada je integrand oblika f (x2 + y2 + z2).

Površina

Odaberemo tačku M0 na glatkoj površini (zatvorenu ili ograničenu glatkom konturom) i u njoj nacrtamo normalu na površinu, birajući joj određeni smjer (jedan od dva moguća). Nacrtajmo zatvorenu konturu duž površine, počevši i završavajući u tački M0. Razmotrimo tačku M koja zaobilazi ovu konturu i u svakom njenom položaju crtamo normalu u smjeru u koji normala kontinuirano prelazi iz prethodne tačke. Ako se nakon prelaska konture normala vrati u tačku M0 u prvobitni položaj za bilo koji izbor tačke M0 na površini, površina se naziva dvostranom. Ako se, međutim, smjer normale promijeni u suprotan nakon obilaska barem jedne tačke, površina se naziva jednostrana (primjer jednostrane površine je Möbiusova traka). Iz prethodnog slijedi izbor pravca normale u jednoj tački jednoznačno određuje pravac normale u svim tačkama površine.

Definicija

Skup svih tačaka površine sa istim smjerom normale naziva se stranica površine.

Površinska orijentacija.

Razmotrimo nezatvorenu glatku dvostranu površinu S ograničenu konturom L i odaberite jednu stranu ove površine.

Definicija

Nazovimo pozitivnim smjer zaobilaženja konture L, u kojem se kretanje duž konture događa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu u odnosu na promatrača koji se nalazi na krajnjoj tački normale na bilo koju tačku površine S koja odgovara odabranoj strani površine. Obrnuti smjer zaobilaženje konture će se zvati negativnim.

Vektorski tok polja.

Razmotrimo vektorsko polje A(M) definisano u prostornom domenu G, orijentisanu glatku površinu S G i polje jediničnih normala n(M) na odabranoj strani površine S.

Definicija 13.3. Površinski integral 1. vrste , (13.1)

gdje je An skalarni proizvod odgovarajućih vektora, a Ap projekcija vektora A na pravac normale, naziva se protok vektorskog polja A(M) kroz odabranu stranu površine S.

Napomena 1.

Ako odaberete drugu stranu površine, tada će normala, a samim tim i protok promijeniti predznak.

Napomena 2.

Ako vektor A specificira brzinu protoka fluida u datoj tački, tada integral (13.1) određuje količinu fluida koja teče u jedinici vremena kroz površinu S u pozitivnom smjeru (otuda opći naziv "protok").

№53 Površinski integral druge vrste. Definicija i St. Islands.

Definicija

Uzmite u obzir dvostranu površinu, glatku ili glatku u komadima, i fiksirajte jednu od njene dvije strane, što je ekvivalentno odabiru određene orijentacije na površini.

Radi određenosti, prvo pretpostavimo da je površina data eksplicitnom jednačinom i da se tačka mijenja u području na ravni , ograničenom komadično glatkom konturom.

Neka je sada neka funkcija definirana u tačkama date površine. Dijeleći površinu mrežom komadno glatkih krivulja na dijelove i odabirom točke na svakom takvom dijelu, izračunavamo vrijednost funkcije u datoj točki i množimo je s površinom projekcije na ravninu elementa, opremljenu sa određenim predznakom. Napravimo integralni zbir:

Konačna granica ove integralne sume pošto prečnici svih delova teže nuli naziva se površinski integral druge vrste

proširen na odabranu stranu površine i označen simbolom

(ovdje ) podsjeća na površinu projekcije elementa površine na ravan

Ako, umjesto u ravninu, projiciramo elemente površine na ravan ili , tada ćemo dobiti dva druga površinska integrala drugog tipa:

U aplikacijama, najčešće kombinacije integrala svih ovih tipova su:

gdje su funkcije , definirane u točkama površine .

Odnos površinskih integrala druge i prve vrste

Gdje je jedinični vektor normale površine - orth.

Svojstva

1. Linearnost: ;

2. Aditivnost: ;

3. Kada se orijentacija površine promijeni, površinski integral mijenja predznak.

br. 60 Operaternable (Hamilton operater) je vektorski diferencijalni operator, označen simbolom (nabla). Za trodimenzionalni euklidski prostor u pravokutnim Dekartovim koordinatama, nabla operator je definiran na sljedeći način: gdje su jedinični vektori duž x, y, z osa.

Svojstva nabla operatora. Ovaj vektor ima smisla kada se kombinuje sa skalarnom ili vektorskom funkcijom na koju se primenjuje.Ako vektor pomnožite sa skalarom φ, dobićete vektor koji predstavlja gradijent funkcije. Ako se vektor skalarno pomnoži sa vektorom, rezultat je skalar

odnosno divergenciju vektora . Ako se pomnoži sa vektorom, onda dobijamo rotor vektora:

Napomena: što se tiče oznake skalarnog i vektorskog proizvoda općenito, u slučaju njihove upotrebe s nabla operatorom, uz one korištene gore, često se koriste alternativne oznake koje su njima ekvivalentne, na primjer, često pišu umjesto , i umjesto toga napisati ; ovo važi i za formule date u nastavku.

Prema tome, skalarni proizvod je skalarni operator, nazvan Laplaceov operator. Ovo posljednje je također označeno. U Dekartovim koordinatama Laplaceov operator je definiran na sljedeći način: Pošto je nabla operator diferencijalni operator, pri transformaciji izraza potrebno je uzeti u obzir i pravila vektorske algebre i pravila diferencijacije. Na primjer:

Odnosno, derivacija izraza koji zavisi od dva polja je zbir izraza u svakom od kojih je samo jedno polje podvrgnuto diferencijaciji. Radi lakšeg označavanja na koja polja djeluje nabla, uobičajeno je pretpostaviti da u proizvodu polja i operatora svaki operator djeluje na izraz desno od njega, a ne djeluje na sve lijevo. Ako je potrebno da operator djeluje na polje lijevo, ovo polje se nekako označava, na primjer, stavljanjem strelice iznad slova: Ovaj oblik notacije se obično koristi u srednjim transformacijama. Zbog svoje neugodnosti, pokušavaju se riješiti strelica u konačnom odgovoru.

№61 Vektorske diferencijalne operacije drugog reda Zovu se sljedećih pet operacija:

1. gdje je Laplaceov operator.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Ovdje je vektorska količina dobivena primjenom Laplaceovog operatora na svaku projekciju vektora .

- - - - - - - - - - - - - - -

Osnovna svojstva dvostrukog integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima pojedinačnog određenog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D i ako područje D koristeći krivulju G nulte površine podijeljeno je na dvije povezane regije bez zajedničkih unutrašnjih tačaka D 1 i D 2 , zatim funkciju f(x, y) je integrabilan u svaki od domena D 1 i D 2 , i

2°. Linearno svojstvo . Ako funkcije f(x, y) i g(x, y) su integrabilni u domenu D, a α i β - bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [ α · f(x, y) + β · g(x, y)] je također integrabilan u domenu D, i

3°. Ako funkcije f(x, y) i g(x, y) su integrabilni u domenu D, onda je proizvod ovih funkcija također integrabilan u D.

4°. Ako funkcije f(x, y) i g(x, y) oba su integrabilna u domenu D i svuda u ovoj oblasti f(x, y) ≤ g(x, y), onda

5°. Ako je funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D, zatim funkcija | f(x, y)| integrabilan u oblasti D, i

(Naravno, od integrabilnosti | f(x, y)| in D integrabilnost ne slijedi f(x, y) u D.)

6°. Teorema srednje vrijednosti. Ako obe funkcije f(x, y) i g(x, y) su integrabilni u domenu D, funkcija g(x, y) je nenegativan (ne-pozitivan) svuda u ovoj regiji, M i m- točne gornje i točne donje granice funkcije f(x, y) na području D, onda postoji broj μ , zadovoljavajući nejednakost m ≤ μ ≤ M i to tako da formula

DVOSTRUKI INTEGRALI

PREDAVANJE 1

Dvostruki integrali.Definicija dvostrukog integrala i njegova svojstva. Iterirani integrali. Redukcija dvostrukih integrala na ponovljene. Uređenje granica integracije. Izračunavanje dvostrukih integrala u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Dvostruki integral je generalizacija koncepta određenog integrala na slučaj funkcije dvije varijable. U ovom slučaju, umjesto segmenta integracije, postojaće neka vrsta ravne figure.

Neka D je neka zatvorena ograničena domena, i f(x,y) je proizvoljna funkcija definirana i ograničena u ovoj domeni. Pretpostavićemo da su granice regiona D sastoji se od konačnog broja krivulja datih jednadžbama oblika y=f(x) ili x=g( y), gdje f(x) i g(y) su kontinuirane funkcije.

Podijelimo područje D nasumično uključeno n dijelovi. Square i segment je označen simbolom D s i. Na svakoj sekciji proizvoljno biramo tačku pi, i neka ima koordinate u nekom fiksnom kartezijanskom sistemu ( x i ,y i). Hajde da komponujemo integralni zbir za funkciju f(x,y) po oblasti D, da bismo to učinili, nalazimo vrijednosti funkcije u svim točkama Pi, množimo ih površinama odgovarajućih segmenata Ds i i sumiramo sve rezultate:

Hajde da pozovemo diam(G) područje G najveća udaljenost između graničnih tačaka ovog područja.

dvostruki integral funkcije f(x,y) preko domene D je granica kojoj teži niz integralnih suma (1.1) sa neograničenim povećanjem broja particija n (pri čemu). Ovo je zapisano na sljedeći način

Imajte na umu da, općenito govoreći, integralni zbir za datu funkciju a dato područje integracije ovisi o načinu podjele područja D i izbor bodova Pi. Međutim, ako dvostruki integral postoji, onda to znači da granica odgovarajućih integralnih suma više ne zavisi od ovih faktora. Da bi dvostruki integral postojao(ili, kako kažu, tako da je funkcija f(x,y) je integrabilan u domenu D), dovoljno je da je integrand kontinuirano u datoj oblasti integracije.

Neka funkcija f(x,y) je integrabilan u domenu D. Budući da granica odgovarajućih integralnih suma za takve funkcije ne ovisi o načinu particioniranja domene integracije, particioniranje se može izvršiti pomoću vertikalnih i horizontalnih linija. Zatim većina dijelova regije D imat će pravougaoni oblik, čija je površina jednaka D s i=D x i D y i. Stoga se diferencijalna površina može zapisati kao ds=dxdy. shodno tome, u kartezijanskim koordinatama, dvostruki integrali može se napisati u formi

Komentar. Ako je integrand f(x,y)º1, tada će dvostruki integral biti jednak površini regije integracije:

Imajte na umu da dvostruki integrali imaju ista svojstva kao i definitivni integrali. Zabilježimo neke od njih.

Svojstva dvostrukih integrala.

1 0 .Linearno svojstvo. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:

a konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

2 0 .Aditivno svojstvo. Ako se domen integracije D podijeli na dva dijela, tada će dvostruki integral biti jednak zbroju integrala nad svakim dijelom:

3 0 .Teorema srednje vrijednosti. Ako je funkcija f( x,y)je kontinuirana u domeni D, onda u ovoj domeni postoji takva tačka(x,h) , šta:

Tada se postavlja pitanje: kako se izračunavaju dvostruki integrali? Može se približno izračunati, u tu svrhu je razvijen efikasne metode sastavljanje odgovarajućih integralnih suma, koji se zatim numerički izračunavaju pomoću računara. U analitičkom proračunu dvostrukih integrala oni se svode na dva određena integrala.

1.1 Definicija dvostrukog integrala

1.2 Svojstva dvostrukog integrala

Svojstva dvostrukog integrala (i njihovo izvođenje) su slična odgovarajućim svojstvima pojedinačnog određenog integrala.

1°. Aditivnost. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D i ako je domena D podijeljena krivuljom Γ površine nula na dvije povezane domene D 1 i D 2 bez zajedničkih unutrašnjih tačaka, tada je funkcija f(x, y) je integrabilna u svaki iz regiona D 1 i D 2 , i

2°. Linearno svojstvo. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, ha? i? - bilo koji realni brojevi, zatim funkcija [? f(x, y) + ? g(x, y)] je takođe integrabilna u domenu D, i

3°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, onda je proizvod ovih funkcija također integrabilan u D.

4°. Ako su funkcije f(x, y) i g(x, y) obje integrabilne u domeni D i svuda u ovoj domeni f(x, y) ? g(x, y), onda

5°. Ako je funkcija f(x, y) integrabilna u domenu D, onda je funkcija |f(x, y)| je integrabilna u domenu D, i

(Naravno, integrabilnost |f(x, y)| u D ne implicira integrabilnost f(x, y) u D.)

6°. Teorema srednje vrijednosti. Ako su obje funkcije f(x, y) i g(x, y) integrabilne u domenu D, funkcija g(x, y) je nenegativna (nepozitivna) svuda u ovoj domeni, M i m su najbolje gornje i donje granice funkcije f( x, y) u domeni D, onda postoji broj? koji zadovoljava nejednakost m ? ? ? M i takav da je formula

Konkretno, ako je funkcija f(x, y) kontinuirana u D, a domen D je povezan, onda u ovom domenu postoji takva tačka (?, ?), šta? = f(?, ?), i formula postaje

7°. Bitan geometrijsko svojstvo. jednaka površini regije D

Neka je tijelo T dato u prostoru (slika 2.1), ograničeno odozdo regijom D, odozgo - grafom kontinuirane i nenegativne funkcije) z = f (x, y,) koja je definirana u regionu D, sa strana - cilindrična površina, čiji je vodič granica područja D, a generatori su paralelni sa osom Oz. Tijelo ovog tipa naziva se cilindrično tijelo.

1.3 Geometrijska interpretacija dvostrukog integrala

1.4 Koncept dvostrukog integrala za pravougaonik

Neka je proizvoljna funkcija f(x, y) definirana svuda na pravokutniku R = ? (Vidi sliku 1).

Podijelimo segment a ? x? b na n parcijalnih segmenata koristeći tačke a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Ova podjela pomoću pravih linija paralelnih sa osama Ox i Oy odgovara podjeli pravougaonika R na n · p parcijalnih pravougaonika R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Označena pregrada pravougaonika R će biti označena simbolom T. U daljem tekstu, u ovom odeljku, termin "pravougaonik" će označavati pravougaonik sa stranicama paralelnim sa koordinatnim osa.

Na svakom parcijalnom pravougaoniku R kl biramo proizvoljnu tačku (? k , ? l). Stavljajući?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1, označavamo sa?R kl površinu pravokutnika R kl. Očigledno, ?R kl = ?x k ?y l .

naziva se integralni zbir funkcije f(x, y) koja odgovara datoj particiji T pravokutnika R i datom izboru međutačaka (?k, ?l) na parcijalnim pravokutnicima particije T.

Dijagonala će se zvati prečnik pravougaonika R kl. Simbol? označavamo najveći od promjera svih parcijalnih pravokutnika R kl .

Broj I se zove granica integralnih suma (1) za? > 0 ako za bilo koji pozitivan broj? ovo možete odrediti pozitivan broj?, u čemu?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I |< ?.

Funkcija f(x, y) naziva se integrabilnom (prema Riemannu) na pravokutniku R ako postoji konačan limit I integralnih suma ove funkcije na? > 0.

Ova granica I naziva se dvostrukim integralom funkcije f(x, y) nad pravokutnikom R i označava se jednim od sljedećih simbola:

Komentar. Na isti način kao i za jednokratni definitivni integral, ustanovljeno je da je bilo koja funkcija f(x, y) integrabilna na pravougaoniku R ograničena na ovaj pravougaonik.

Ovo daje osnovu da se u nastavku razmatraju samo ograničene funkcije f(x, y).

Dvostruki integrali. Definicija dvostrukog integrala i njegova svojstva. Iterirani integrali. Redukcija dvostrukih integrala na ponovljene. Uređenje granica integracije. Izračunavanje dvostrukih integrala u Dekartovom koordinatnom sistemu.

1. DVOSTRUKI INTEGRALI

1.1. Definicija dvostrukog integrala

Dvostruki integral je generalizacija koncepta određenog integrala na slučaj funkcije dvije varijable. U ovom slučaju, umjesto segmenta integracije, postojaće neka vrsta ravne figure.

Neka D je neka zatvorena ograničena domena, i f(x, y) je proizvoljna funkcija definirana i ograničena u ovoj domeni. Pretpostavićemo da su granice regiona D sastoji se od konačnog broja krivulja datih jednadžbama oblika y=f(x) ili x=g( y), gdje f(x) i g(y) su kontinuirane funkcije.

R

Rice. 1.1

Azobem region D nasumično uključeno n dijelovi. Square i-ti dio će biti označen simbolom  s i. Na svakoj sekciji proizvoljno biramo tačku P i , i neka ima koordinate u nekom fiksnom kartezijanskom sistemu ( x i , y i). Hajde da komponujemo integralni zbir za funkciju f(x, y) po oblasti D, da bismo to učinili, nalazimo vrijednosti funkcije u svim točkama P i, pomnožite ih površinama odgovarajućih sekcija s i i sumiramo sve rezultate:

. (1.1)

Hajde da pozovemo prečnika diam(G) područje G najveća udaljenost između graničnih tačaka ovog područja.

dvostruki integral funkcije f(x, y) po regionu D naziva se granica kojoj teži niz integrala iznosi (1.1) uz neograničeno povećanje broja particija n (pri čemu
). Ovo je zapisano na sljedeći način

. (1.2)

Imajte na umu da, općenito govoreći, integralni zbroj za datu funkciju i datu integracijsku domenu ovisi o načinu na koji je domena podijeljena D i izbor bodova P i. Međutim, ako dvostruki integral postoji, onda to znači da granica odgovarajućih integralnih suma više ne zavisi od ovih faktora. Da bi dvostruki integral postojao(ili, kako kažu, to funkcija f(x, y) bio integrabilan u oblastiD), dovoljno je da je integrandkontinuirano u datoj oblasti integracije.

P

Rice. 1.2

st funkcija f(x, y) je integrabilan u domenu D. Budući da granica odgovarajućih integralnih suma za takve funkcije ne ovisi o načinu particioniranja domene integracije, particioniranje se može izvršiti pomoću vertikalnih i horizontalnih linija. Zatim većina dijelova regije D imaće pravougaoni oblik, čija je površina jednaka  s i =x i y i. Stoga se diferencijalna površina može zapisati kao ds= dxdy. shodno tome, u kartezijanskom koordinatnom sistemu dvostruki integrali može se napisati u formi

. (1.3)

Komentar . Ako je integrand f(x, y)1, tada će dvostruki integral biti jednak površini regije integracije:

. (1.4)

Imajte na umu da dvostruki integrali imaju ista svojstva kao i definitivni integrali. Zabilježimo neke od njih.

Svojstva dvostrukih integrala.

1 0 . Linearno svojstvo. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:

a konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:

.

2 0 . Aditivno svojstvo. Ako je područje integracijeDpodijeljeno na dva dijela, tada će dvostruki integral biti jednak zbiru integrala nad svakim dijelom:

.

3 0 . Teorema srednje vrijednosti. Ako je funkcija f( x, y)kontinuirano u regionuD, onda u ovoj oblasti postoji takva tačka() , šta:

.

Tada se postavlja pitanje: kako se izračunavaju dvostruki integrali? Može se izračunati približno, u tu svrhu su razvijene efikasne metode za sastavljanje odgovarajućih integralnih suma, koji se zatim numerički izračunavaju pomoću računara. U analitičkom proračunu dvostrukih integrala oni se svode na dva određena integrala.

1.2. Iterirani integrali

Ponovljeni integrali su integrali oblika

. (1.5)

U ovom izrazu prvo se izračunava unutrašnji integral, tj. najprije se vrši integracija preko varijable y(dok je varijabla x pretpostavlja se konstantnim). Kao rezultat integracije preko y dobiti neku funkciju x:

.

Rezultirajuća funkcija se zatim integrira x:

.

Primjer 1.1. Izračunaj integrale:

a)
, b)
.

Rješenje . a) Hajde da se ponovo integrišemo y, pod pretpostavkom da je varijabla x= konst. Nakon toga računamo integral preko x:

.

b) Pošto se u unutrašnjem integralu integracija vrši preko varijable x, onda y 3 se može uzeti u vanjski integral kao konstantni faktor. Zbog y 2 u internom integralu smatra se konstantnom vrijednošću, tada će ovaj integral biti tabelarni. Uzastopnim integrisanjem preko y i x, dobijamo

Postoji veza između dvostrukih integrala i iteriranih integrala, ali prvo pogledajmo jednostavna i složena područja. Područje se zove jednostavno u bilo kojem smjeru ako bilo koja linija povučena u tom smjeru siječe granicu regije u najviše dvije tačke. U Dekartovom koordinatnom sistemu obično se razmatraju pravci duž ose O x i O y. Ako je područje jednostavno u oba smjera, onda se ukratko kaže - jednostavno područje, bez isticanja smjera. Ako domena nije jednostavna, onda se kaže da jeste kompleks.

L

a b

Rice. 1.4

Bilo koja složena domena može se predstaviti kao zbir jednostavnih domena. Prema tome, svaki dvostruki integral se može predstaviti kao zbir dvostrukih integrala nad jednostavnim domenima. Stoga ćemo u nastavku uglavnom razmatrati samo integrale nad jednostavnim domenima.

Teorema . Ako je područje integracijeD– jednostavno u smjeru osiOy(vidi sliku 1.4a), tada se dvostruki integral može zapisati kao iterirani na sljedeći način:

; (1.6)

ako je područje integracijeD– jednostavno u smjeru osiOx(vidi sliku 1.4b), tada se dvostruki integral može zapisati kao ponovljeni na sljedeći način:

. (1.7)

E

Rice. 1.3

Ako je područje integracije ispravno u oba smjera, tada se može proizvoljno odabrati oblik iteriranog integrala, ovisno o lakoći integracije.

1.3. POSTAVLJANJE GRANICA INTEGRACIJE

1.3.1. Pravougaona oblast integracije

P

Rice. 1.5

Prilikom svođenja dvostrukih integrala na iterirane, glavna poteškoća nastaje u postavljanju granica u unutrašnjim integralima. Najlakši način da to učinite je za pravougaone površine (vidi sliku 1.5).

Primjer 1.2. Izračunaj dvostruki integral

.

Rješenje . Dvostruki integral pišemo u obliku iteriranog:

.

1.3.2. Arbitrarna regija integracije

Da bismo prešli sa dvostrukog integrala na iterirani, slijedi:

konstruisati domen integracije;

postaviti granice u integralima, pritom zapamtiti da granice vanjskog integrala moraju biti konstantne vrijednosti (tj. brojevi) bez obzira na to za koju se varijablu vanjski integral izračunava.

Primjer 1.3. Postavite granice integracije u odgovarajućim iteriranim integralima za dvostruki integral

ako a)
b)

R

Rice. 1.6

rješenje . a) Nacrtajte područje integracije D(vidi sliku 1.6). Neka se integracija u vanjskom integralu izvrši preko varijable x, iu unutrašnjem y. Postavljanje granica uvijek treba početi s vanjskim integralom, u ovom slučaju s promjenljivom x. Iz slike se vidi da x mijenja se od 0 do 1, dok se vrijednosti varijable yće se promijeniti od vrijednosti na pravoj liniji y= x do vrijednosti na pravoj liniji y=2x. Dakle, dobijamo

.

Neka se sada integracija u vanjskom integralu izvede prema y, iu unutrašnjem x. U ovom slučaju, vrijednosti y promijenit će se od 0 do 2. Međutim, tada je gornja granica promjene vrijednosti varijable x sastojaće se od dva dela x= y/2 i x=1. To znači da se područje integracije mora podijeliti na dva dijela prave linije y=1. Tada se u prvom području y mijenja od 0 do 1, i x od pravog x= y/2 na ravno x= y. U drugoj regiji, y se mijenja sa 1 na 2, i x- od pravog x= y/2 na ravno x=1. Kao rezultat, dobijamo

.

b

Rice. 1.7

) Konstruirajmo oblast integracije D(vidi sliku 1.7). Neka se izvede integracija u vanjski integral x, iu unutrašnjem y. U ovom slučaju, prilikom promjene x-1 do 1 promjena u varijabli y odozgo će biti ograničen s dvije linije: kružnicom i pravom linijom. Na segmentu [–1; 0] y promjene od y=0 do
; na segmentnu varijablu y promjene od y=0 do y=1–x. Na ovaj način,

.

Neka se sada izvrši integracija u vanjski integral y, iu unutrašnjem x. U ovom slučaju yće se promijeniti od 0 do 1, a varijabla x- iz luka kružnice
na ravno x=1–y. Kao rezultat, dobijamo

.

Ovi primjeri pokazuju koliko je važno odabrati pravi red integracije.

Primjer 1.4. Promijenite redosljed integracije

a)
; b)
.

R

Rice. 1.8

rješenje . a) Hajde da izgradimo oblast integracije. Na segmentu za x varijabla y mijenja iz ravnog y=0 do pravog y= x. Kao rezultat, dobija se sljedeća oblast integracije (vidi sliku 1.8). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije

.

b) Hajde da izgradimo oblast integracije. Na segmentu za y varijabla x mijenja iz ravnog x=y to parabola
; na segmentu - od prave linije x=y na ravno x= 3/4. Rezultat je sljedeća oblast integracije (vidi sliku 1.9). Na osnovu konstruisane figure postavljamo granice integracije,

.