Prirodni brojevi, cijeli brojevi, racionalni, iracionalni, algebarski, transcendentalni. Transcendentalni broj. Izvod koji karakteriše transcendentalni broj

Dom

Siding

Ilya Shchurov

Matematičar Ilja Ščurov o decimalnim razlomcima, transcendenciji i iracionalnosti broja Pi.

Kako je „jedan“ pomogao u izgradnji prvih gradova i velikih imperija? Kako ste inspirisali izvanredne umove čovečanstva? Kakvu je ulogu imala u nastanku novca? Kako se "jedan" udružio sa nulom da bi vladao savremeni svet? Istorija jedinice je neraskidivo povezana sa istorijom evropske civilizacije. Terry Jones kreće na šaljivo putovanje kako bi sastavio nevjerovatnu priču o našem prostom broju. Koristeći kompjutersku grafiku u ovom programu, jedinica oživljava u različitim oblicima. Istorija jedinice jasno pokazuje odakle dolaze moderni brojevi i kako nas je pronalazak nule spasio od potrebe da danas koristimo rimske brojeve.

Jacques Sesiano

O Diofantu znamo malo. Mislim da je živeo u Aleksandriji. Niko od grčkih matematičara ga ne pominje pre 4. veka, pa je verovatno živeo sredinom 3. veka. Najvažnije Diofantovo djelo, Aritmetika (Ἀριθμητικά), dogodilo se na početku 13 “knjiga” (βιβλία), odnosno poglavlja. Danas ih imamo 10, i to: 6 u grčkom tekstu i 4 druga u srednjovekovnom arapskom prevodu, čije je mesto u sredini grčkih knjiga: knjige I-III na grčkom, IV-VII na arapskom, VIII-X na grčkom. Diofantova "Aritmetika" je prvenstveno zbirka zadataka, njih oko 260. Iskreno govoreći, ne postoji teorija. postoje samo opšta uputstva u uvodu knjige i privatnim komentarima u nekim problemima, kada je to potrebno. "Aritmetika" već ima karakteristike algebarske rasprave. Prvi Diofant koristi različiti znakovi da izrazi nepoznato i njegove moći, takođe neke kalkulacije; kao i sav algebarski simbolizam srednjeg vijeka, njegov simbolizam dolazi od matematičkih riječi. Zatim, Diofant objašnjava kako algebarski riješiti problem. Ali Diofantovi problemi nisu algebarski u uobičajenom smislu, jer se skoro svi svode na rješavanje neodređene jednačine ili sistema takvih jednačina.

Georgij Šabat

Program predmeta: Istorija. Prve procjene. Problem samjerljivosti obima kruga sa njegovim prečnikom. Beskonačni nizovi, proizvodi i drugi izrazi za π. Konvergencija i njen kvalitet. Izrazi koji sadrže π. Sekvence koje brzo konvergiraju na π. Savremene metode proračuni π, upotreba kompjutera. O iracionalnosti i transcendentnosti π i nekih drugih brojeva. Za razumijevanje kursa nije potrebno nikakvo predznanje.

Naučnici sa Univerziteta u Oksfordu rekli su da se najranija poznata upotreba broja 0 za označavanje odsustva vrednosti mesta (kao kod broja 101) treba smatrati tekstom indijskog Bakhšali rukopisa.

Vasilij Pispanen

Ko nije igrao igru "imenuj najveći broj" kao dijete? Već je teško zamisliti milione, trilione i druge "-one" u vašem umu, ali pokušaćemo da shvatimo "mastodont" u matematici - Grahamov broj.

Victor Kleptsyn

Realni broj se može aproksimirati onoliko precizno koliko se želi racionalnim brojevima. Koliko takva aproksimacija može biti dobra u poređenju sa svojom složenošću? Na primjer, razbijanjem decimalnog zapisa broja x at kth cifra nakon decimalnog zareza dobijamo aproksimaciju x≈a/10^k sa greškom reda 1/10^k. I općenito, fiksiranjem nazivnika q aproksimirajućeg razlomka, možemo precizno dobiti aproksimaciju s greškom reda 1/q. Da li je moguće bolje? Poznata aproksimacija π≈22/7 daje grešku reda 1/1000 – to jest, očigledno mnogo bolju nego što bi se očekivalo. Zašto? Jesmo li sretni što π ima takvu aproksimaciju? Ispada da za bilo koji iracionalni broj postoji beskonačno mnogo razlomaka p/q koji ga aproksimiraju bolje od 1/q^2. To je ono što kaže Dirichletova teorema - a mi ćemo započeti kurs s njegovim pomalo nekonvencionalnim dokazom.

Godine 1980. Ginisova knjiga rekorda je ponovila Gardnerove tvrdnje, dodatno podstaći interesovanje javnosti za ovaj broj. Grahamov broj je nezamisliv broj puta veći od drugih dobro poznatih velikih brojeva kao što su googol, googolplex, pa čak i veći od Skewesovog i Moserovog broja. Zapravo, cijeli svemir koji se može promatrati je premalen da bi mogao sadržavati običan decimalni zapis Grahamovog broja.

Dmitry Anosov

Predavanja drži Dmitrij Viktorovič Anosov, doktor fizičko-matematičkih nauka, profesor, akademik Ruske akademije nauka. Ljetna škola"Moderna matematika", Dubna. 16-18. jul 2002

Nemoguće je tačno odgovoriti na ovo pitanje, jer numeričke serije nema gornju granicu. Dakle, bilo kojem broju trebate samo dodati jedan da biste dobili još veći broj. Iako su sami brojevi beskonačni, oni nemaju mnogo vlastitih imena, jer se većina njih zadovoljava imenima sastavljenim od manjih brojeva. Jasno je da u konačnom nizu brojeva kojima je čovječanstvo dodijelilo svoje ime, mora ih biti najveći broj. Ali kako se to zove i čemu je jednako? Pokušajmo to shvatiti i ujedno otkriti do kojih su velikih brojeva matematičari došli.

Transcendentalni broj

broj (stvarni ili imaginarni) koji ne zadovoljava nijednu algebarska jednačina(Vidi algebarsku jednačinu) sa cjelobrojnim koeficijentima. Dakle, brojevi se suprotstavljaju algebarskim brojevima (vidi Algebarski broj). Postojanje black metala prvi je ustanovio J. Liouville (1844). Polazna tačka za Liouvillea bila je njegova teorema, prema kojoj red aproksimacije racionalnog razlomka sa datim nazivnikom datom iracionalnom algebarskom broju ne može biti proizvoljno visok. Naime, ako je algebarski broj A zadovoljava ireducibilnu algebarsku jednačinu stepena n sa cjelobrojnim koeficijentima, tada za bilo koji racionalni broj c zavisi samo od α ). Stoga, ako se za dati iracionalni broj α može specificirati beskonačan skup racionalnih aproksimacija koje ne zadovoljavaju datu nejednakost za bilo koji With I n(isto za sve aproksimacije), onda α je T. h Primjer takvog broja daje:

Još jedan dokaz postojanja T. brojeva dao je G. Cantor (1874), napominjući da je skup svih algebarskih brojeva prebrojiv (tj. algebarski brojevi mogu biti prenumerisani; vidi Teorija skupova), dok je skup svih realnih brojeva nebrojiv.

Iz ovoga slijedi da je skup brojeva nebrojiv, a dalje da brojevi čine glavninu skupa svih brojeva. Najvažniji zadatak teorije T. ch analitičke funkcije

, koji posjeduje određena aritmetička i analitička svojstva za algebarske vrijednosti argumenta. Problemi ove vrste spadaju u najteže probleme moderne matematike. C. Hermite je 1873. dokazao da je Neperov broj Godine 1882. njemački matematičar F. Lindemann je dobio opštiji rezultat: ako je α algebarski broj, ondaα - T. h Lipdemannov rezultat je značajno generalizovao njemački matematičar K. Siegel (1930), koji je dokazao, na primjer, transcendenciju vrijednosti široke klase cilindričnih funkcija za algebarske vrijednosti argumenta. 1900. godine, na matematičkom kongresu u Parizu, D. Hilbert je među 23 neriješena problema iz matematike istakao sljedeće: je transcendentan broj α β , Gdje α I β - algebarski brojevi, i β - iracionalan broj, a posebno je broj e π transcendentalan (problem transcendencije brojeva oblika α β prvi je u privatnoj formi postavio L. Euler, 1744.). Potpuno rješenje ovog problema (u afirmativnom smislu) dobio je tek 1934. A. O. Gelfond u. Iz Gelfondovog otkrića, posebno, slijedi da su svi decimalni logaritmi prirodnih brojeva (tj. „tabelarni logaritmi“) cijeli brojevi. Metode teorije brojeva primjenjuju se na brojne probleme rješavanja jednadžbi u cijelim brojevima.

Lit.: Gelfond A. O., Transcendentalni i algebarski brojevi, M., 1952.

Veliki Sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je "transcendentalni broj" u drugim rječnicima:

Broj koji ne zadovoljava nijednu algebarsku jednadžbu sa cjelobrojnim koeficijentima. Transcendentalni brojevi su: broj??3.14159...; decimalni logaritam bilo kojeg cijelog broja koji nije predstavljen jedinicama iza kojih slijede nula; broj e=2,71828... i ostali... Veliki Encyclopedic Dictionary

- (od lat. transcendere preći, nadmašiti) ovo je stvarno ili kompleksni broj, koji nije algebarski, drugim riječima, broj koji ne može biti korijen polinoma s cijelim koeficijentima. Sadržaj 1 Svojstva 2 ... ... Wikipedia

Broj koji ne zadovoljava nijednu algebarsku jednadžbu sa cjelobrojnim koeficijentima. Transcendentalni brojevi su: broj π = 3,14159...; decimalni logaritam bilo kojeg cijelog broja koji nije predstavljen jedinicama iza kojih slijede nula; broj e = 2,71828... itd... Encyclopedic Dictionary

Broj koji ne zadovoljava nijednu algebru. jednadžba sa cjelobrojnim koeficijentima. Uključujući: broj PI = 3,14159...; decimalni logaritam bilo kojeg cijelog broja koji nije predstavljen jedinicama iza kojih slijede nula; broj e = 2,71828... itd... Prirodne nauke. Encyclopedic Dictionary

Broj koji nije korijen nijednog polinoma s cijelim koeficijentima. Područje definicije takvih brojeva su nule realnih, kompleksnih i radičkih brojeva. Postojanje i eksplicitne konstrukcije stvarnih dijelova potkrijepio je J. Liouville. Mathematical Encyclopedia

Jednačina koja nije algebarska. Obično su to jednačine koje sadrže eksponencijalne, logaritamske, trigonometrijske, inverzne trigonometrijske funkcije, na primjer: Strožija definicija je: Transcendentalna jednačina je jednačina ... Wikipedia

Broj približno jednak 2,718, koji se često nalazi u matematici i prirodne nauke. Na primjer, kada se radioaktivna tvar raspadne nakon vremena t, od početne količine tvari ostaje dio jednak ekt, gdje je k broj, ... ... Collier's Encyclopedia

E je matematička konstanta, baza prirodnog logaritma, iracionalni i transcendentalni broj. Ponekad se broj e naziva Ojlerovim brojem (ne treba ga brkati sa takozvanim Ojlerovim brojevima prve vrste) ili Napierovim brojem. Označava se malim latiničnim slovom “e”.... ... Wikipedia

Riječ “transcendentalno” se obično povezuje s transcendentalnom meditacijom i raznim ezoterizmom. Ali da biste ga ispravno koristili, morate ga barem razlikovati od pojma "transcendentalno", a najviše zapamtiti njegovu ulogu u djelima Kanta i drugih filozofa.

Ovaj koncept dolazi od latinskog transcendens - "prevazilaženje", "nadmašivanje", "nadilaziti". Općenito, označava nešto što je u osnovi nedostupno empirijskom znanju ili nije zasnovano na iskustvu. Preduvjeti za pojam nastali su u filozofiji neoplatonizma - osnivač pokreta Plotin je stvorio doktrinu o Jednom - svedobrom prvom principu, koji se ne može spoznati ni naporom misli ni uz pomoć osjetila. iskustvo. „Jedno nije biće, već njegov roditelj“, objašnjava filozof.

Termin “transcendentno” najpotpunije je otkriven u filozofiji Imanuela Kanta, gdje se koristio za karakterizaciju stvari koje postoje neovisno o svijesti i djeluju na naša osjetila, dok su ostale fundamentalno nespoznatljive, kako u praksi, tako i u teoriji. Suprotnost transcendenciji je: ona znači ili neotuđivost, unutrašnju povezanost bilo koje kvalitete objekta sa samim objektom, ili spoznajljivost objekta na lično iskustvo. Na primjer, ako pretpostavimo da je Univerzum stvoren po nekom višem planu, sam plan je za nas transcendentalan – o njemu možemo samo graditi hipoteze. Ali ako ovaj plan postoji u stvarnosti, njegove posljedice su nam imanentne i manifestiraju se fizički zakoni i okolnosti u kojima se nalazimo. Prema tome, u nekim teološkim konceptima, Bog je transcendentalan i izvan postojanja koje je stvorio.

Neke stvari-po sebi su još uvijek dostupne apriornom znanju: na primjer, prostor i vrijeme, ideje Boga, dobrota i ljepota, logičke kategorije. Odnosno, transcendentalni objekti su, figurativno rečeno, „prethodno postavljeni“ u našem umu

Koncept transcendencije postoji iu matematici: transcendentalni broj je broj koji se ne može izračunati pomoću algebre ili algebarski izraziti (tj. ne može biti korijen polinoma s cijelim koeficijentima koji nije identičan nuli). To uključuje, na primjer, brojeve π i e.

Koncept blizak “transcendentnom”, ali drugačiji po značenju, je “transcendentalni”. U početku je jednostavno označavao područje apstraktnih mentalnih kategorija, a kasnije ga je razvio Kant, upadajući u vlastitu zamku: pokazalo se da je nemoguće izgraditi filozofski sistem samo na empirijskim podacima, a on nije prepoznao nikakve drugi izvori iskustva osim empirijskih. Da bi izašao, filozof je morao priznati da su neke stvari-po sebi još uvijek dostupne apriornom znanju: na primjer, prostor i vrijeme, ideje Boga, dobrota i ljepota, logičke kategorije. Odnosno, transcendentalni objekti su, figurativno rečeno, “prethodno instalirani” u našem umu - dok informacije o njima postoje same i ne slijede iz našeg iskustva.

Postoji još jedan srodni koncept - transcendencija. U najširem smislu riječi, to znači prijelaz granice između dva različita područja, posebno prijelaz iz sfere ovoga svijeta u sferu onostranog, transcendentalnog. Radi jednostavnosti, uzmimo primjer iz naučne fantastike: paralelni svet Za obicna osoba- transcendentalni fenomen. Ali kada se junak nađe u ovom paralelnom svijetu ili je nekako u stanju da ga percipira, to je transcendencija. Ili složeniji primjer iz egzistencijalne filozofije: Jean-Paul Sartre je vjerovao da je čovjek transcendentalan jer nadilazi svako moguće lično iskustvo: možemo proučavati sebe i svijet oko sebe iz različitih uglova, ali nikada nećemo doći ni blizu potpunog saznanja sebe. Ali u isto vrijeme, osoba ima sposobnost transcendiranja: on nadilazi bilo koju stvar, dajući joj neko značenje. Transcendencija je važan element u religiji: ona pomaže osobi da se oslobodi svoje materijalne prirode i dotakne nešto izvan.

Iz filozofije je koncept transcendentalnosti prešao u psihologiju: švicarski psiholog Carl Jung uveo je koncept “transcendentalne funkcije” - to je funkcija koja ujedinjuje svjesno i nesvjesno. Posebno, psihoanalitičar može obavljati transcendentalnu funkciju - pomaže pacijentu da analizira slike nesvjesnog (na primjer, snove) i poveže ih zajedno sa svjesnim procesima u njegovoj psihi.

Kako govoriti

Netačno "Prijavio sam se na čas transcendentalne meditacije." Tako je – “transcendentalno”.

Tačno “Kada uđem u hram, doživljavam osjećaj stapanja s nečim transcendentalnim.”

Tačno, „Umjetnost nadilazi poznate predmete iz materijalnog svijeta, ispunjavajući ih višim značenjem.“

Transcendentalni broj- kompleksan broj koji nije algebarski, odnosno nije korijen bilo kojeg različitog od nule polinoma s racionalnim koeficijentima.

Postojanje transcendentalnih brojeva prvi je ustanovio J. Liouville 1844; On je također konstruirao prve primjere takvih brojeva. Liouville je primijetio da se alebarski brojevi ne mogu aproksimirati "suviše dobro" racionalnim brojevima. Naime, Liouvilleova teorema kaže da ako je algebarski broj korijen polinoma stepena s racionalnim koeficijentima, tada za bilo koji racionalni broj vrijedi sljedeća nejednakost:

gde konstanta zavisi samo od. Iz ove izjave proizilazi dovoljno dokaza transcendencija: ako je broj takav da za bilo koju konstantu postoji beskonačan skup racionalnih brojeva koji zadovoljavaju nejednakosti

to je transcendentalno. Kasnije su takvi brojevi nazvani Liouville brojevi. Primjer takvog broja je

Još jedan dokaz postojanja transcendentnih brojeva dobio je G. Cantor 1874. na osnovu teorije skupova koju je stvorio. Cantor je dokazao da je skup algebarskih brojeva prebrojiv i da je skup realnih brojeva nebrojiv, što implicira da je skup transcendentalnih brojeva nebrojiv. Međutim, za razliku od Liouvilleovog dokaza, ovi argumenti nam ne dozvoljavaju da damo primjer barem jednog takvog broja.

Liouvilleov rad dao je povod za cijeli dio teorije transcendentalnih brojeva - teorije aproksimacije algebarskih brojeva racionalnim ili, općenito, algebarskim brojevima. Liouvilleova teorema je ojačana i generalizirana u radovima mnogih matematičara. To je omogućilo konstruiranje novih primjera transcendentnih brojeva. Dakle, K. Mahler je pokazao da ako je nekonstantan polinom koji uzima nenegativne cjelobrojne vrijednosti za sve prirodne brojeve, onda je za bilo koji prirodni broj, gdje je broj zapisan u sistemu brojeva radix, transcendentalan, ali je nije Liouville broj. Na primjer, sa i dobijamo sljedeći elegantan rezultat: broj

transcendentan, ali ne i Liouvilleov broj.

Godine 1873., C. Hermite je, koristeći druge ideje, dokazao transcendenciju Neperskog broja (osnova prirodnog logaritma):

Razvijajući Hermiteove ideje, F. Lindemann je 1882. dokazao transcendenciju broja, čime je okončan drevni problem kvadrature kruga: pomoću šestara i ravnala nemoguće je konstruirati kvadrat jednake veličine (tj. istu oblast) na dati krug. Općenito, Lindemann je pokazao da je, za bilo koji algebarski broj, broj transcendentalan. Ekvivalentna formulacija: za bilo koji algebarski broj osim i, njegov prirodni logaritam je transcendentalni broj.

1900. godine, na Kongresu matematičara u Parizu, D. Hilbert, među 23 neriješena problema u matematici, ističe sljedeće, koje je u posebnom obliku formulirao L. Euler:

Neka I su algebarski brojevi, i transcendentalno? Konkretno, da li su brojevi transcendentni? I?

Ovaj problem se može ponoviti u sljedećem obliku, bliskom Ojlerovoj originalnoj formulaciji:

Neka I - algebarski brojevi osim i, štaviše, omjer njihovih prirodnih logaritama iracionalno. Hoće li biti broj transcendentalno?

Prvo djelomično rješenje problema dobio je 1929. A. O. Gelfond, koji je posebno dokazao transcendenciju broja. Godine 1930. R. O. Kuzmin je poboljšao Gelfondovu metodu, a posebno je uspio dokazati transcendenciju broja. Potpuno rješenje Euler-Hilbertovog problema (u afirmativnom smislu) dobili su 1934. nezavisno A. O. Gelfond i T. Schneider.

A. Baker je 1966. generalizovao teoreme Lindemanna i Gelfond-Šnajdera, dokazujući, posebno, transcendenciju proizvoda proizvoljnog konačnog broja brojeva oblika i sa algebarskim pod prirodnim ograničenjima.

Godine 1996 Yu.V. Nesterenko je dokazao algebarsku nezavisnost vrijednosti Eisensteinovih redova i, posebno, brojeva i. To znači transcendiranje bilo kojeg broja oblika, gdje je racionalna funkcija različita od nule sa algebarskim koeficijentima. Na primjer, zbir niza će biti transcendentalan

Godine 1929-1930 K. Mahler je u nizu radova predložio novu metodu za dokazivanje transcendencije vrijednosti analitičkih funkcija koje zadovoljavaju funkcionalne jednadžbe određenog tipa (kasnije su takve funkcije nazvane Mahlerove funkcije).

Metode teorije transcendentnih brojeva našle su primenu u drugim granama matematike, posebno u teoriji Diofantovih jednačina.

Sekcije