1 jednadžbe ravnoteže za proizvoljni prostorni sistem sila. Prostorni konvergentni sistem sila. Uslovi ravnoteže za ravan sistem sila
Teorema. Za ravnotežu prostornog sistema sila potrebno je i dovoljno da glavni vektor i glavni moment ovog sistema budu jednaki nuli. Adekvatnost: pri F o =0 sistem konvergentnih sila primijenjenih u centru redukcije O je ekvivalentan nuli, a kod M o =0 sistem parova sila je ekvivalentan nuli. Prema tome, originalni sistem sila je ekvivalentan nuli. Potreba:
Neka ovaj sistem sila bude ekvivalentan nuli. Svodeći sistem na dvije sile, primjećujemo da sistem sila Q i P (slika 4.4) mora biti ekvivalentan nuli, dakle, ove dvije sile moraju imati zajedničku liniju djelovanja i jednakost Q = –P mora biti zadovoljan. Ali to može biti ako linija djelovanja sile P prolazi kroz tačku O, odnosno ako je h = 0. To znači da je glavni moment nula (M o =0).
Jer Q+P=0, a Q=F o +P", zatim F o +P"+P=0 i, prema tome, F o = 0. Potrebni i dovoljni uslovi jednaki su prostornom sistemu sila u oblik: F o =0 , M o =0 (4.15), ili, u projekcijama na koordinatne ose, Fox=åF kx =F 1x +F 2x +…+F nx =0; F Oy =åF ky =F 1y +F 2y +...+F ny =0; F oz =åF kz =F 1z +F 2z +…+F nz =0 (4.16). M Ox =åM Ox (F k)=M Ox (F 1)+M ox (F 2)+...+M Ox (F n)=0, M Oy =åM Oy (F k)=M oy ( F 1)+M oy (F 2)+…+M oy (F n)=0, M oz =åM O z (F k)=M O z (F 1)+M oz (F 2)+.. . +M oz (F n)=0.(4.17)
To. Prilikom rješavanja zadataka sa 6 nivoa možete pronaći 6 nepoznatih. Napomena: par sila se ne može svesti na rezultantu.– kretanje u kojem tačka (tijelo) istovremeno učestvuje u nekoliko kretanja (na primjer, putnik koji se kreće duž vagona u pokretu). U ovom slučaju se uvodi pokretni koordinatni sistem (Oxyz), koji vrši dato kretanje u odnosu na fiksni (glavni) koordinatni sistem (O 1 x 1 y 1 z 1). Apsolutno kretanje dots name kretanje u odnosu na fiksni koordinatni sistem. Relativno kretanje– kretanje u odnosu na pokretni koordinatni sistem. (kretanje oko kočije). Prenosivi pokret– kretanje mobilnog sistema. koordinate u odnosu na stacionarnu (kretanje automobila). Teorema adicije brzine: , ; -orti (jedinični vektori) pokretnog koordinatnog sistema, ort rotira oko trenutne ose, pa je brzina njenog kraja itd., Þ: ,
; – relativna brzina. 
; brzina nošenja: : 
, dakle, apsolutna brzina tačke = geometrijski zbir njene prenosive (v e) i relativne (v r) brzine, modul: . 
itd. Članovi izraza koji određuje ubrzanje: 1) – ubrzanje pola O; 
2) 3) – relativno ubrzanje tačke; 
. 4) , dobijamo: .: 
Prva tri člana predstavljaju ubrzanje tačke u pokretnom kretanju: – ubrzanje pola O; – ubrzanje rotacije, 
– ubrzanje ubrzanja, tj. 
Teorema zbrajanja ubrzanja (Coriolisova teorema) , Gdje
Prilikom sabiranja dva translacijska pokreta, rezultirajuće kretanje je također translacijsko i brzina rezultirajućeg kretanja jednaka je zbroju brzina komponentnih pokreta. Dodavanje TV rotacija. tijela oko osi koje se ukrštaju. Osa rotacije čiji se položaj u prostoru mijenja tokom vremena naziva se. trenutna osa rotacije tela. Vektor ugaone brzine je klizni vektor usmeren duž trenutne ose rotacije. Apsolutna ugaona brzina tijela = geometrijski zbir brzina rotacija komponenti - pravilo paralelograma ugaonih brzina. 
. Ako tijelo istovremeno učestvuje u trenutnim rotacijama oko nekoliko osa koje se sijeku u jednoj tački, tada . U slučaju sfernog kretanja krutog tijela, čija jedna tačka ostaje nepomična tokom cijelog kretanja, imamo jednačine sfernog kretanja: Y=f 1 (t); q=f 2 (t); j=f 3 (t). Y – ugao precesije, q – ugao nutacije, j – ugao pravilne rotacije - Eulerovi uglovi. Kutna brzina precesije, ug. brzina nutacije, luk. sk. vlastitu rotaciju. 
, – modul ugaone brzine tela oko trenutne ose. Kroz projekcije na fiksne koordinatne ose: – Ojlerove kinematičke jednadžbe. Sabiranje rotacija oko 2 paralelne ose.
1) 
Rotacije su usmjerene u jednom smjeru. w=w 2 +w 1 , C je trenutni centar brzina i trenutna os rotacije prolazi kroz njega, 
, 
. 2) Rotacije su usmjerene u različitim smjerovima. 
, w=w 2 -w 1 
S – instant. centar sk. i instant osa rotacije . Kada se rotiraju oko ||th osi, vektori ugaone brzine se sabiraju na isti način kao i vektori paralelnih sila. 3) Par okretaja– rotacije oko ||-te osi su usmjerene u različitim smjerovima i ugaone brzine su jednake po veličini ( – par ugaonih brzina). U ovom slučaju, v A =v B, rezultirajuće kretanje tijela je translacijsko (ili trenutno translacijsko) kretanje brzinom v=w 1 ×AB - moment para ugaonih brzina (translacijsko kretanje pedale bicikla u odnosu na do okvira). Instant centar brzina je u beskonačnosti. Sabiranje translacijskih i rotacijskih pokreta. 1) Brzina translatornog kretanja ^ prema osi rotacije - ravnoparalelno kretanje - trenutna rotacija oko ose Rr sa ugaonom brzinom w=w". 2) Pokret zavrtnja– kretanje tijela se sastoji od rotacionog kretanja oko ose Aa sa uglom sk. w i translacijski sa brzinom v||Aa. Osa Aa je osa vijka. Ako su v i w u jednom smjeru, onda je vijak desno, ako u različitim smjerovima, onda je lijevo. Razdaljina koju pređe bilo koja tačka tijela koja leži na osi vijka za vrijeme jednog okretaja naziva se. korak propelera – h. Ako su v i w konstantni, onda je h= =const sa konstantnim korakom, bilo koji (×)M koji ne leži na osi vijka opisuje spiralnu liniju. 
usmjerena tangencijalno na spiralu. 3) Brzina translacionog kretanja formira proizvoljan ugao sa osom rotacije, u ovom slučaju se kretanje može smatrati kao sastavljeno od serije trenutnih pomeranja puža oko kontinuirano menjajućih osa puža - trenutnog pužnog kretanja.
Analitičko snimanje uslova ravnoteže za proizvoljni prostorni sistem sila predstavljeno je sistemom od šest jednačina (5.3).
Sa mehaničke tačke gledišta, prve tri jednadžbe utvrđuju odsustvo translacijskog, a posljednje tri - kutnog kretanja tijela. U slučaju SSS, uslovi ravnoteže će biti predstavljeni sistemom prve tri jednačine. U slučaju sistema paralelnih sila, sistem će se sastojati i od tri jednačine: jedne jednačine zbira projekcija sila na osu paralelnu na koju su sile sistema orijentisane i dve jednačine momenata o ose koje nisu paralelne sa linijama delovanja sila sistema.
CENTAR TELA
Težište čvrstog tijela je tačka kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnih sila gravitacije čestica datog tijela, bez obzira na njegovu lokaciju u prostoru.
Koordinate centra gravitacije, tačke C (slika 6.3) mogu se odrediti pomoću sledećih formula:
Jasno je da što je particija finija, to će se proračun tačnije izvršiti pomoću formula (6.7), (6.8). Međutim, složenost proračuna može biti prilično velika. U inženjerskoj praksi formule se koriste za određivanje težišta tijela pravilnog oblika.
KINEMATIKA
PREDAVANJE 6.
Kinematika je grana mehanike koja se bavi kretanjem tijela i
Poeni bez uzimanja u obzir sila koje se na njih primjenjuju.
6.1. Metode za određivanje kretanja tačke Kretanje tijela ili tačaka može se smatrati samo u odnosu na neke referentni sistemi -
Razmotrimo tri referentna sistema koji se najčešće koriste u rješavanju problema i, u skladu s njima, tri načina specificiranja kretanja tačke. Njihove karakteristike se svode na: a) opis samog referentnog sistema; b) određivanje položaja tačke u prostoru; c) označavanje jednačina kretanja tačke; d) utvrđivanje formula pomoću kojih se mogu naći kinematičke karakteristike kretanja tačke.
Vektorska metoda
Ova metoda se po pravilu koristi za izvođenje teorema i drugih teorijskih tvrdnji. Njegova prednost u odnosu na druge metode je kompaktnost snimanja. Centar se koristi kao referentni sistem u ovoj metodi. O sa trostrukom jediničnih vektora – i, j, k (Sl. 8.1). Položaj proizvoljne tačke u prostoru M odredio radijus vektor, r. Dakle, jednačina kretanja tačke M postojat će jednovrijedna funkcija vektora radijusa u odnosu na vrijeme, t :
Upoređujući posljednje dvije definicije, možemo zaključiti da je putanja tačke ujedno i hodograf njenog radijus vektora.
Hajde da predstavimo koncept prosječna brzina, V pros (Slika 8.1):
I prava (trenutna) brzina, V:
Smjer V poklapa se sa tangentom na putanju tačke (slika 8.1).
Ubrzanje tačke je vektorska veličina koja karakteriše promjenu brzine tačke:
Prirodnim putem
odnos između S i vrijeme, t , je jednadžba kretanja tačke u prirodnim putem zadaci kretanja:
Tačkasta brzina usmjerena duž ose t , definira se kao:
Ubrzanje tačke, A, je u avionu nt i može se razložiti na komponente:
Fizičko značenje ovo proširenje je kako slijedi: linija djelovanja tangentne komponente, a t , poklapa se s linijom djelovanja vektora brzine, V , i odražava promjenu samo u modulu brzine; normalna komponenta ubrzanja, i n , karakterizira promjenu smjera linije djelovanja vektora brzine. Njihove numeričke vrijednosti mogu se pronaći pomoću sljedećih formula:
| Gdje | – radijus zakrivljenosti putanje u datoj tački. |
Metoda koordinata
Ova metoda se najčešće koristi prilikom rješavanja problema. Referentni sistem je trio međusobno okomitih osa x , y , z (Sl. 8.3). Položaj tačke M određena njegovim koordinatama x M , y M , z M .
Jednačine kretanja tačke su jednoznačne funkcije ovih koordinata iz
i njegov modul:
Smjer vektora brzine u prostoru može se analitički odrediti pomoću kosinusa smjera:
Ubrzanje tačke M može se utvrditi njegovim projekcijama na koordinatne ose:
Smjer vektora ubrzanja u prostoru određen je kosinusima smjera.
Neophodni i dovoljni uslovi za ravnotežu bilo kog sistema sila izražavaju se jednakostima (videti § 13). Ali vektori R i jednaki su samo kada, odnosno kada djelujuće sile, prema formulama (49) i (50), zadovolje uvjete:
Dakle, za ravnotežu proizvoljnog prostornog sistema sila potrebno je i dovoljno da su sumi projekcija svih sila na svaku od tri koordinatne ose i zbroji njihovih momenata u odnosu na ove ose jednaki nuli.
Jednačine (51) istovremeno izražavaju uslove ravnoteže krutog tela pod uticajem bilo kog prostornog sistema sila.
Ako pored sila na tijelo djeluje i par, određeno njegovim momentom, tada se oblik prva tri od uslova (51) neće promijeniti (zbir projekcija sila para na bilo kojoj osi je jednak nuli), a posljednja tri uvjeta će imati oblik:
Slučaj paralelnih sila. U slučaju kada su sve sile koje djeluju na tijelo međusobno paralelne, možete odabrati koordinatne ose tako da osa bude paralelna silama (Sl. 96). Tada će projekcije svake od sila na osu i njihovi momenti u odnosu na osu z biti jednaki nuli i sistem (51) će dati tri uslova ravnoteže:
Preostale jednakosti će se tada pretvoriti u identitete forme
Shodno tome, za ravnotežu prostornog sistema paralelnih sila, neophodno je i dovoljno da suma projekcija svih sila na osu paralelnu silama i zbir njihovih momenata u odnosu na druge dve koordinatne ose budu jednaki nula.
Rješavanje problema. Procedura rješavanja problema ovdje ostaje ista kao u slučaju ravninskog sistema. Nakon što je uspostavljena ravnoteža o kojem se tijelu (objektu) radi, potrebno je prikazati sve vanjske sile koje djeluju na njega (i date i reakcione veze) i sastaviti uslove za ravnotežu tih sila. Iz rezultirajućih jednačina određuju se potrebne količine.
Da bi se dobili jednostavniji sistemi jednadžbi, preporučuje se da se osi povuku tako da sijeku više nepoznatih sila ili da budu okomite na njih (osim ako to nepotrebno otežava proračun projekcija i momenata drugih sila).
Novi element u sastavljanju jednačina je proračun momenata sila oko koordinatnih osa.
U slučajevima kada od opšti crtež Teško je vidjeti koliki je moment date sile u odnosu na bilo koju osu, preporučuje se da se na pomoćnom crtežu prikaže projekcija dotičnog tijela (zajedno sa silom) na ravan okomitu na ovu osu.
U slučajevima kada se pri izračunavanju momenta javljaju poteškoće u određivanju projekcije sile na odgovarajuću ravan ili krak ove projekcije, preporučuje se razlaganje sile na dvije međusobno okomite komponente (od kojih je jedna paralelna nekoj koordinatnoj os), a zatim koristiti Varignonovu teoremu (vidi zadatak 36). Osim toga, možete analitički izračunati momente koristeći formule (47), kao, na primjer, u zadatku 37.
Zadatak 39. Na pravokutnoj ploči sa stranicama a i b postoji opterećenje. Težište ploče zajedno s opterećenjem nalazi se u tački D s koordinatama (sl. 97). Jedan od radnika drži ploču na uglu A. U kojim tačkama B i E treba dva druga radnika poduprijeti ploču tako da su sile koje primjenjuju svaki od onih koji drže ploču jednake.
Rješenje. Razmatramo ravnotežu ploče, koja je slobodno tijelo u ravnoteži pod djelovanjem četiri paralelne sile gdje je P sila gravitacije. Crtamo uslove ravnoteže (53) za ove sile, uzimajući u obzir horizontalnu ploču i crtajući ose kao što je prikazano na Sl. 97. Dobijamo:
Prema uslovima zadatka, trebalo bi da postoji Tada iz poslednje jednačine Zamenivši ovu vrednost P u prve dve jednačine, konačno ćemo naći
Rješenje je moguće kada Kada i kada će biti Kada je tačka D u centru ploče,
Zadatak 40. Na horizontalnoj osovini koja leži u ležajevima A i B (Sl. 98), postavljeni su remenica polumjera cm i bubanj polumjera okomito na osu osovine. Osovina se pokreće u rotaciju pomoću remena omotanog oko remenice; istovremeno se ravnomjerno podiže teret težine , vezan za konopac, koji je namotan na bubanj. Zanemarujući težinu osovine, bubnja i remenice, odrediti reakcije ležajeva A i B i napetost pogonske grane remena, ako se zna da je dvostruko veća od zatezanja gonjene grane. Dato: cm, cm,
Rješenje. U zadatku koji se razmatra, sa ravnomernom rotacijom osovine, sile koje deluju na nju zadovoljavaju uslove ravnoteže (51) (ovo će biti dokazano u § 136). Nacrtajmo koordinatne osi (sl. 98) i oslikamo sile koje djeluju na osovinu: napetost F užeta, po modulu jednaka P, napetost remena i komponente reakcija ležaja.
Za sastavljanje uvjeta ravnoteže (51) prvo izračunamo i unesemo u tablicu vrijednosti projekcija svih sila na koordinatne ose i njihove momente u odnosu na ove ose.
Sada stvaramo ravnotežne uslove (51); pošto dobijamo:
Iz jednačina (III) i (IV) nalazimo odmah, uzimajući u obzir to
Zamjenom pronađenih vrijednosti u preostale jednačine, nalazimo;
I konačno
Zadatak 41. Pravougaoni poklopac sa utegom koji tvori ugao sa vertikalom fiksiran je na horizontalnoj osi AB u tački B cilindričnim ležajem, a u tački A ležajem sa graničnikom (Sl. 99). Poklopac se drži u ravnoteži pomoću užeta DE i povlači nazad pomoću užeta prebačenog preko bloka O sa utegom na kraju (linija KO paralelna sa AB). Zadato: Odrediti napetost užeta DE i reakcije ležajeva A i B.
Rješenje. Razmotrite ravnotežu poklopca. Nacrtajmo koordinatne ose, počevši od tačke B (u ovom slučaju, sila T će preseći ose, što će pojednostaviti formu jednadžbi momenta).
Zatim prikazujemo sve date sile i reakcije koje djeluju na poklopac: silu gravitacije P primijenjenu na težište C poklopca, silu Q jednaku po veličini Q, reakciju T užeta i reakciju ležišta A i B (slika 99; vektor M k prikazan isprekidanim linijama nije relevantan za ovaj zadatak). Da bismo nacrtali uslove ravnoteže, uvodimo ugao i označavamo da je proračun momenata nekih sila objašnjen na pomoćnoj slici. 100, a, b.
Na sl. 100, a pogled je prikazan u projekciji na ravan sa pozitivnog kraja ose
Ovaj crtež pomaže da se izračunaju momenti sila P i T u odnosu na osu. Može se vidjeti da su projekcije ovih sila na ravan (ravninu okomitu) jednake samim silama, a krak sile P u odnosu na. tačka B je jednaka; rame sile T u odnosu na ovu tačku je jednako
Na sl. 100, b prikazuje pogled u projekciji na ravan sa pozitivnog kraja y-ose.
Ovaj crtež (zajedno sa slikom 100, a) pomaže da se izračunaju momenti sila P i u odnosu na y-osu. Iz njega se vidi da su projekcije ovih sila na ravan jednake samim silama, a krak sile P u odnosu na tačku B jednak je kraku sile Q u odnosu na ovu tačku jednak je ili , kao što se može videti sa sl. 100, a.
Sastavljanjem ravnotežnih uslova (51) uzimajući u obzir data objašnjenja i pretpostavivši istovremeno dobijamo:
(ja)
Uzimajući u obzir ono što nalazimo iz jednačina (I), (IV), (V), (VI):
Zamjenom ovih vrijednosti u jednačine (II) i (III) dobijamo:
konačno,
Zadatak 42. Riješite zadatak 41 za slučaj kada na poklopac dodatno djeluje par koji se nalazi u njegovoj ravni sa momentom rotacije para usmjerenog (kada se poklopac gleda odozgo) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Rješenje. Pored sila koje djeluju na poklopac (vidi sliku 99), prikazujemo trenutak M para u obliku vektora koji je okomit na poklopac i primijenjen u bilo kojoj tački, na primjer u tački A. Njegove projekcije na koordinatne ose: . Zatim, sastavljajući uslove ravnoteže (52), nalazimo da će jednačine (I) - (IV) ostati iste kao u prethodnom zadatku, a posljednje dvije jednačine imaju oblik:
Imajte na umu da se isti rezultat može dobiti bez sastavljanja jednadžbe u obliku (52), već prikazom para s dvije sile usmjerene, na primjer, duž pravih AB i KO (u ovom slučaju moduli sila će biti jednaka), a zatim koristeći normalnim uslovima balans.
Rješavajući jednačine (I) - (IV), (V), (VI), naći ćemo rezultate slične onima dobijenim u zadatku 41, sa jedinom razlikom što će sve formule uključivati umjesto količine. Konačno dobijamo:
Zadatak 43. Horizontalna šipka AB pričvršćena je za zid pomoću sferne šarke A i drži se u položaju okomitom na zid pomoću nosača KE i CD, prikazanih na sl. 101, a. Teret sa utegom je okačen na kraj B šipke. Odredite reakciju šarke A i napetost žičanih žica ako se zanemari težina šipke.
Rješenje. Razmotrimo ravnotežu štapa. Na njega djeluje sila P i reakcije Nacrtajmo koordinatne ose i napravimo ravnotežne uslove (51). Da bismo pronašli projekcije i momente sile, razložimo ga na komponente. Zatim, prema Varignonovoj teoremi, od od
Proračun momenata sila u odnosu na osu objašnjen je pomoćnim crtežom (Sl. 101, b), koji prikazuje pogled u projekciji na ravan
Razmotrimo proizvoljan prostorni sistem sila koje djeluju na kruto tijelo. Dovedemo ovaj sistem sila u dato središte i fokusiramo se na slučaj kada su glavni vektor i glavni moment ovog sistema sila jednaki nuli, tj.
(1) Takav sistem sila je ekvivalentan nuli, tj. uravnotežen. Dakle, jednakosti (1) su dovoljne uslove balans. Ali i ovi uslovi su neophodni, tj. ako je sistem sila u ravnoteži, onda su jednakosti (1) također zadovoljene, ako bi sistem bio u ravnoteži, ali npr 
tada bi ovaj sistem bio nakalemljen na rezultantu u centru redukcije i ne bi bilo ravnoteže. Ako je samo Mo =**O, ovaj sistem bi bio nakalemljen na par i ne bi bilo balansa. Par ne može uravnotežiti jedan drugog. Dakle, dokazali smo da je za ravnotežu proizvoljnog prostornog sistema sila neophodno i dovoljno da glavni vektor i glavni moment ovog sistema u odnosu na proizvoljno izabran centar redukcije budu jednaki nuli. Uslovi (1) se nazivaju uslovi ravnoteže u vektorskom obliku. Da bismo dobili analitički oblik uslova ravnoteže koji je pogodniji za praktične svrhe, projektujemo jednakosti (1) na ose Kartezijanski sistem koordinate Kao rezultat dobijamo:
(2)uslovi ravnoteže za sistem paralelnih sila u prostoru Za ravnotežu proizvoljnog prostornog sistema sila potrebno je i dovoljno da zbir projekcija svih sila na koordinatne ose x, y i z, kao i zbir momenata svih sila u odnosu na iste ose, jednake nuli. Neka prostorni sistem paralelnih sila djeluje na kruto tijelo. Kako je izbor osi proizvoljan, moguće je odabrati koordinatni sistem tako da jedna od osa bude paralelna silama, a dvije
drugi su okomiti na njih (slika 1.38). Sa ovim izborom koordinatnih osa, projekcije svake od sila na x i y ose i njihovi momenti u odnosu na osu z uvek će biti jednaki nuli. To znači da 
Ove jednakosti su identično zadovoljene, bez obzira da li je dati sistem sila u ravnoteži ili ne, tj. prestaju da budu uslovi ravnoteže. Stoga će ostati sljedeći uvjeti ravnoteže:
Dakle, za ravnotežu sistema paralelnih sila u prostoru, potrebno je i dovoljno da zbir projekcija svih sila na osu paralelnu ovim silama bude jednak nuli i da obećanja njihovih momenata u odnosu na svaku od dvije koordinatne ose okomite na sile su također jednake nuli.
17, Teorema o ekvivalenciji dva para sila u prostoru.
Dovođenje sile u dato središte (Poinsotova metoda) - sila se može prenijeti paralelno sa sobom u bilo koju tačku u ravni ako dodate odgovarajući par sila, čiji je moment jednak momentu ove sile u odnosu na tačka u pitanju. Dodajmo sistemu u tački A dvije sile, jednake po veličini jedna drugoj i veličini date sile, usmjerene duž jedne prave u suprotnim smjerovima i paralelne datoj sili: kinematičko stanje se nije promijenilo ( aksiom vezanosti). Izvorna sila i jedna od dodatih sila u suprotnom smjeru čine par sila. Moment ovog para je numerički jednak momentu početne sile u odnosu na centar redukcije. U mnogim slučajevima, zgodno je predstaviti par sila pomoću lučne strelice. Dovođenje ravan proizvoljnog sistema sila u dato središte - biramo proizvoljnu tačku na ravni i prenosimo svaku od sila pomoću Poinsotove metode u ovu tačku. Umjesto originalnog proizvoljnog sistema, dobijamo konvergentni sistem sila i sistem parova. Konvergentni sistem sila svodi se na jednu silu primijenjenu u centru redukcije, koja se ranije zvala rezultanta, ali sada ova sila ne zamjenjuje prvobitni sistem sila, jer je nakon redukcije nastao sistem parova. Sistem parova se svodi na jedan par (teorema o sabiranju parova), čiji je moment jednak algebarskom zbiru momenata prvobitnih sila u odnosu na centar redukcije. Općenito, stan proizvoljan sistem sile se svode na jednu silu koja se naziva glavni vektor i na par sa momentom jednakim glavnom momentu svih sila sistema u odnosu na centar redukcije: - glavni vektor, - glavni moment. A. A. Uslov za ravnotežu ravnog proizvoljnog sistema sila je istovremeno preokretanje glavnog vektora i glavnog momenta sistema na nulu: Jednačine ravnoteže (I oblik) se dobijaju u obliku sistema od tri jednačine iz uslova ravnoteže. koristeći izraze za projekcije glavnog vektora: Postoje još dva oblika jednadžbi ravnoteže (II i III oblici)
17. 
27-28 Zavisnost između glavnih momenata sila u odnosu na dva proizvoljno odabrana centra redukcije. Invarijante sistema sila
Neka se ovaj prostorni sistem dovede u centar O, tj.
Gdje 
Glavni moment formira određeni ugao a sa smerom glavnog vektora (slika 1.32)
Uzmimo sada novi centar redukcije O1 i dovedimo sve sile u ovaj centar. Kao rezultat, ponovo dobijamo glavni vektor jednak glavnom vektoru R, i novi glavni moment određen formulom gde je pk vektor radijusa tačke primene sile Fk, povučen iz novog centra redukcije O1 ( vidi sliku 1.32 Glavni moment Mo1 u odnosu na novi centar redukcija se promijenila i sada formira određeni ugao a1 sa smjerom glavnog vektora R. Uspostavimo vezu između momenata Mo i Mo1 Sa slike 1.32 jasno je da (3) Zamjenom (3) u jednakost (2) dobijamo (4) Dalje, otvarajući zagrade na desnoj strani jednakosti (4). ) i stavljajući zajednički faktor O1O izvan znaka zbira , imamo
( - projekcije glavnog momenta u odnosu na tačku O na koordinatne ose).
Dovođenje sile u dato središte.
Da bi se sila primijenjena u bilo kojoj tački čvrstog tijela dovela do određenog centra, potrebno je:
1) Prenesite silu paralelnu sebi u dato središte bez promjene modula sile.
2) Na dati centar primijeniti par sila čiji je vektorski moment jednak vektorskom momentu prenesene sile u odnosu na novi centar. Ovaj par sila naziva se spojeni par.
Djelovanje sile na kruto tijelo se ne mijenja kada se ono paralelno sa sobom prenese na drugu tačku na krutom tijelu ako se doda nekoliko sila.
34. Za ravan sistem paralelnih sila, mogu se sastaviti dvije jednačine ravnoteže Ako su sile paralelne sa Y osom, onda jednačine ravnoteže imaju oblik.
Druga jednačina se može konstruisati za bilo koju tačku.
35 za ravnotežu potpuno slobodnog tijela na koje djeluje prostorni proizvoljni sistem sila, potrebno je i dovoljno da se zadovolji šest jednačina ravnoteže. Ako je tijelo fiksirano u jednoj tački, onda ima tri stepena slobode. Takvo tijelo se ne može kretati translatorno, već se može samo rotirati oko bilo koje ose, odnosno oko koordinatnih osa. Da bi takvo tijelo bilo u ravnoteži, potrebno je da se ne rotira, a za to je dovoljno zahtijevati da tri momentne jednadžbe budu jednake nuli
Dakle, da bi apsolutno kruto tijelo sa jednom fiksnom tačkom, na koju djeluje proizvoljni prostorni sistem sila, bilo u ravnoteži, potrebno je i dovoljno da je zbir momenata svih sila u odnosu na tri međusobno okomite ose jednak nula.
Tri druge jednadžbe se koriste za određivanje komponenti reakcije šarke u tački pričvršćivanja Nx, Ny, Nz
37. Telo koje ima dve fiksne tačke ima jedan stepen slobode. Može se rotirati samo oko ose koja prolazi kroz ove dvije fiksne točke. Ravnoteža će postojati ako se tijelo ne okreće oko ove ose. Stoga je za ravnotežu dovoljno zahtijevati da je zbir momenata svih sila koje djeluju na tijelo u odnosu na osu koja prolazi kroz dvije fiksne tačke jednak nuli: ∑Mxx(Fi)=0 
38/Sistem tijela je nekoliko tijela povezanih jedno s drugim na neki način. Sile koje djeluju na tijela sistema dijele se na vanjske i unutrašnje. Unutrašnje sile se nazivaju silama interakcije između tijela istog sistema, a spoljašnje sile kojima tijela koja nisu uključena u njega djeluju na tijela datog sistema.
Ako je sistem tijela u ravnoteži, onda razmatramo ravnotežu svakog tijela posebno, uzimajući u obzir unutrašnje sile interakcije između tela. Ako je dat ravan proizvoljan sistem N tijela, onda je za ovaj sistem moguće sastaviti 3N jednačine ravnoteže. Prilikom rješavanja zadataka o ravnoteži sistema tijela može se uzeti u obzir i ravnoteža i sistema tijela u cjelini i za bilo koju kombinaciju tijela. Kada se razmatra ravnoteža sistema kao celine, unutrašnje sile interakcije između tela se ne uzimaju u obzir na osnovu aksioma jednakosti sila delovanja i reakcije. Dakle, postoje 2 vrste pronalaženja ravnoteže sistema tijela...1sp Prije svega, razmatramo cjelokupnu strukturu, a zatim isključujemo bilo koje tijelo iz ovog sistema i razmatramo. U njemu postoji balans. 2sp Podijelimo sistem na posebna tijela i sastav jednačine ravnoteže za svako tijelo.
Statički definiran sistemi su sistemi u u kojoj broj nepoznatih veličina ne prelazi broj nezavisnih jednačina ravnoteže za dati sistem sila.
Statički nedefinisano Sistemi su sistemi u kojima je broj nepoznatih veličina veći od broja nezavisnih jednačina ravnoteže za dati sistem sila Kct=R-Y gdje je R broj reakcija. Y-broj nezavisnih jednadžbi
41. Nakon što tijelo napusti ravnotežni položaj, sila statičkog trenja opada i tokom kretanja se naziva sila trenja klizanja, odnosno koeficijent trenja klizanja je nešto manji od koeficijenta statičkog trenja. U tehničkim proračunima se pretpostavlja da su ovi koeficijenti jednaki. WITH Povećanjem brzine kretanja smanjuje se koeficijent trenja klizanja za većinu materijala. Eksperimentalno se određuje koeficijent trenja klizanja.
Sila trenja klizanja usmjerena je suprotno od mogućeg kretanja tijela.
Sila trenja ne zavisi od površine dodirnih površina.
Maksimalna sila trenja je proporcionalna normalnom pritisku. Pod normalnim pritiskom se podrazumijeva ukupan pritisak na cijeloj kontaktnoj površini trljajućih površina: Fmax=fN
43. U prisustvu trenja, ukupna reakcija hrapave površine odstupa od normale na površinu za određeni ugao<р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f
Tangens ugla trenja jednak je koeficijentu trenja.
Konus trenja je konus opisan ukupnom reakcijom R oko smjera normalne reakcije. Ako je koeficijent trenja f isti u svim smjerovima, tada će konus trenja biti kružni
Da bi tijelo balansiralo na hrapavoj površini, potrebno je i dovoljno da rezultanta aktivnih sila bude unutar konusa trenja ili da prolazi duž generatrikse stošca
30. Modul glavnog vektora Ro=√Rx^2+Ry^2 gdje je Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (Rx,Ry projekcije glavnog vektora na odgovarajuće koordinatne ose)
Uglovi formirani od strane glavnog vektora sa odgovarajućom koordinatnom osom Sos(x^Ro)=Rx/Ro Sos(y^Ro)=Ry/Ro
Modul glavnog momenta u odnosu na odabrani centar redukcije O Mo√Mox^2+Moy^2 gdje je Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-projekcije glavnog momenta u odnosu na tačku O na koordinatnoj osi)
Uglovi formirani od glavnog momenta sa odgovarajućim koordinatnim osama Sos(x^Mo)=Mox/Mo Sos(y^Mo)=Moy/Mo
Ako Ro nije=0 Mo=0 sistem sila se može zamijeniti jednom silom
Ro=0 Mo not=0 sistem sila je zamenjen parom sila
Rone=0 Mo ne=0 ali Ro okomito na Mo je zamijenjeno jednom silom koja ne prolazi kroz centar redukcije
31. Ravni sistem sila. Sve sile ovog sistema leže u jednoj ravni. Neka je, na primjer, ovo ravan XAY, gdje je A proizvoljni centar redukcije. Sile ovog sistema se ne projektuju na AZ osu i ne stvaraju momente u odnosu na AX i AY ose, pošto leže u XAY ravni (odeljak 13). U ovom slučaju jednakost
Uzimajući ovo u obzir, dobijamo uslove ravnoteže za ravan sistem sila:
Dakle, za ravnotežu krutog tijela pod djelovanjem ravnog sistema sila, potrebno je i dovoljno da dva zbroja projekcija sila na koordinatne osi i zbir algebarskih momenata svih sila u odnosu na bilo koju tačku u ravni biti jednak nuli.
39.sile koje djeluju na sve tačke nazivaju se raspoređene dati volumen ili dati dio površine ili linije. Ras ograničeno sile karakteriše intenzitet q, tj. silom, zbog po jedinici zapremine, površine ili dužine linije. Raspodijeljene snage obično se zamjenjuju koncentrisanim.
Ako raspoređene sile djeluju u ravnini na pravoj liniji, tada se zamjenjuju koncentriranom silom na sljedeći način.
Ravnomjerno raspoređeno opterećenje intenziteta q zamjenjuje se koncentriranom silom Q =qL koja se primjenjuje na sredini presjeka. Ravnomjerno raspoređeno opterećenje odnosi se na sile koje imaju iste veličine i smjera na određenom području tijela.
Ako raspoređene sile variraju linearno
(duž trougla), tada se koncentrisana sila Q = qmaxL/2- primjenjuje na težište trougla, koje se nalazi na udaljenosti - od njegove osnove……………….
44. Trenje kotrljanja je otpor kretanju koji se javlja kada se tijela prevrću jedno preko drugog. Pojavljuje se, na primjer, između elemenata kotrljajućih ležajeva, između gume kotača automobila i površine puta. Po pravilu, vrijednost trenja kotrljanja je mnogo manja od vrijednosti trenja klizanja, pa je stoga kotrljanje uobičajena vrsta kretanja u tehnici.
Trenje kotrljanja javlja se na granici dva tijela i stoga se klasificira kao vrsta vanjskog trenja.
45.spin friction. Pretpostavimo da teška lopta leži na horizontalnoj ravni, centar lopte označavamo sa O, a tačku dodira lopte sa ravninom sa C. Rotacija lopte oko prave linije CO naziva se okretanje. Iskustvo pokazuje da ako je trenutak para koji treba da izazove okretanje lopte vrlo mali, onda se lopta neće okretati. Iz toga slijedi da je djelovanje pokretačkog para paralizovano nekim drugim parom, od čijeg prisustva zavisi trenje okretanja.
Jedna metoda za izračunavanje momenta trenja kotrljajućeg ležaja je podijeliti moment trenja na takozvani moment neovisan o opterećenju M0 i moment ovisan o opterećenju, koji se zatim zbrajaju kako bi se dobio ukupni moment:
46dvije paralelne sile usmjerene u istom smjeru svode se na jednu silu - rezultantnu silu primijenjenu u tački koja dijeli pravu liniju na udaljenosti koje su obrnuto proporcionalne veličinama sila. Dosljednim dodavanjem paralelnih sila u parovima dolazimo i do jedne sile - rezultante R: Kako se sila može prenijeti duž linije njenog djelovanja, tačka primjene sile (rezultanta) je u suštini nedefinirana. Ako se sve sile zarotiraju pod istim uglom i sile se ponovo zbroje, dobijamo drugačiji smjer linije djelovanja rezultante. Tačka presjeka ove dvije linije djelovanja rezultanti može se smatrati tačkom primjene rezultante, koja ne mijenja svoj položaj kada se sve sile istovremeno rotiraju pod istim uglom. Ova tačka se naziva središte paralelnih sila. Centar paralelnih sila je tačka primjene rezultante, koja ne mijenja svoj položaj kada se sve sile istovremeno rotiraju pod istim uglom
47Poluprečnik vektora tačke je vektor čiji se početak poklapa sa ishodištem koordinatnog sistema, a kraj sa datom tačkom.
Dakle, karakteristika radijus vektora koja ga razlikuje od svih drugih vektora je da je njegov početak uvijek lociran u početnoj tački (slika 17).
Centar paralelnih sila, tačka kroz koju prolazi linija delovanja rezultantnog sistema paralelnih sila Fk za bilo koju rotaciju svih ovih sila u blizini njihovih tačaka primene u istom pravcu i pod istim uglom. Koordinate centra paralelnih sila određene su formulama:
gdje su xk, yk, zk koordinate tačaka primjene sila.
48Centar gravitacije krutog tijela - tačka koja je uvijek povezana s ovim tijelom, kroz koju prolazi linija djelovanja rezultantnih sila gravitacije čestica tijela u bilo kojem položaju tijela u prostoru. U ovom slučaju, gravitaciono polje se smatra homogenim, tj. Sile gravitacije čestica tijela paralelne su jedna s drugom i ostaju konstantne za vrijeme bilo koje rotacije tijela. Koordinate centra gravitacije:
; ; , gdje je R=år k, x k,y k,z k – koordinate tačaka primjene sila gravitacije r k. Težište je geometrijska tačka i može ležati izvan tijela (na primjer, prsten). Težište ravne figure:
DF k – elementarna površina, F – površina figure. Ako se područje ne može podijeliti na nekoliko konačnih dijelova, onda . Ako homogeno tijelo ima os simetrije, onda je težište tijela na toj osi.
49 Rješavanje zadataka za određivanje položaja (koordinata) težišta homogene ploče, sistema tijela smještenih na ravni ili prostoru svodi se na sastavljanje jednačina i dalje ubacivanje poznatih numeričkih podataka u njega i izračunavanje rezultata:
One. potrebno je razbiti sistem na komponente i pronaći položaje težišta ovih sastavnih elemenata. Izračunajte masu komponenti, izražavajući je kroz specifičnu gustinu - linearnu, volumetrijsku ili površinsku, u zavisnosti od vrste predstavljenog sistema. Na kraju rješenja, specifična gustina će se smanjiti, tako da se nemojte stidjeti ući u nju (u pravilu se ne navodi, ali tekst problema pokazuje da su ploča, šipke i ploča homogeni) . Od karakteristika ovog zadatka treba napomenuti dvije stvari: 1) određivanje težišta komponente pravokutnog, kvadratnog oblika ili štapa, kruga nije teško - težište takvih figura je u centru.
50. kružni sektor: ; Trougao. Podijelite trokut na tanke linije,
paralelno sa svakom od njegovih strana odrediti da je od centra
gravitacija svake linije leži na njenom geometrijskom centru (u centru
simetrija), tada težište trougla leži na presjeku njegovog
medijana Tačka presjeka medijana ih dijeli u omjeru (2:1).
Kružni sektor (Slika 54). Težište leži na osi
simetrija. Podjelom kružnog sektora na elementarne trouglove
odrediti luk koji formiraju težišta trokuta. Radijus
luk je jednak 2/3 poluprečnika sektora. Dakle, koordinata centra
utvrđuje se gravitacija kružnog sektora
izraz xC = sin α.
51Hemisfera. Težište leži na osi simetrije na udaljenosti
3/8 od osnove.
Piramida (konus) (Slika 55).
Težište leži na liniji
povezuje vrh sa centrom
gravitacije baze na udaljenosti od ¾ od
Luk kružnice Težište leži na osi simetrije i ima
koordinate xC = sin α ; uS = 0 .
Kinematika
1Kinematika, grana teorijske mehanike, proučava kretanje materijalnih tijela ne zanimajući se za razloge koji uzrokuju ili mijenjaju ovo kretanje. Za njega je bitna samo fizička valjanost i matematička strogost u okviru prihvaćenih modela. Kinematički problemi Postaviti kretanje materijalne tačke (sistema) znači dati način da se odredi položaj tačke (sve tačke koje čine sistem) u bilo kom trenutku.
Zadaci kinematike su razvijanje metoda za specificiranje kretanja tačke (sistema) i metoda za određivanje brzine, ubrzanja tačke i drugih kinematičkih veličina tačaka koje čine mehanički sistem. putanja tačke
Odrediti kretanje tačke znači odrediti njen položaj u svakom trenutku. Ova pozicija se mora odrediti, kao što je već rečeno, u nekom koordinatnom sistemu. Međutim, za to nije uvijek potrebno specificirati same koordinate; možete koristiti količine koje su na neki način povezane s njima. Ispod su tri glavna načina za određivanje kretanja tačke.
1. Prirodnim putem. Ova metoda se koristi ako je putanja tačke poznata. Putanja je skup tačaka u prostoru kroz koje prolazi pokretna čestica materijala. Ovo je linija koju ona povlači u prostoru. Sa prirodnom metodom, potrebno je da podesite (slika 1):
a) putanja kretanja (u odnosu na bilo koji koordinatni sistem);
b) proizvoljna tačka na njoj, nula, od koje se meri rastojanje S do čestice koja se kreće duž putanje;
c) pozitivan smjer reference S (kada je tačka M pomjerena u suprotnom smjeru, S je negativan);
d) početak vremena t;
e) funkcija S(t), koja se zove zakon kretanja**) tačke.
2. Metoda koordinata. Ovo je najuniverzalniji i najsveobuhvatniji način da se opiše kretanje. Pretpostavlja zadatak:
a) koordinatni sistemi (ne nužno kartezijanski) q1, q2, q3;
b) početak vremena t;
c) zakon kretanja tačke, tj. funkcije q1(t), q2(t), q3(t).
Kada govorimo o koordinatama tačke, uvek ćemo misliti (osim ako nije drugačije navedeno) na njene kartezijanske koordinate.
3. Vektorska metoda. Položaj tačke u prostoru može se odrediti i radijus vektorom povučenim od određenog početka do date tačke (slika 2). U ovom slučaju, da biste opisali kretanje morate postaviti:
a) početak radijus vektora r;
b) početak vremena t;
c) zakon kretanja tačke r(t).
Pošto je specificiranje jedne vektorske veličine r ekvivalentno određivanju njene tri projekcije x, y, z na koordinatne ose, lako je preći sa vektorske metode na koordinatni. Ako uvedemo jedinične vektore i, j, k (i = j = k = 1), usmjerene duž osa x, y i z (slika 2), onda se, očigledno, zakon kretanja može predstaviti u obliku *)
r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)
Prednost vektorskog oblika snimanja u odnosu na koordinatni oblik je kompaktnost (umjesto s tri veličine jedna se radi s jednom) i često veća jasnoća.
Primjer. Na fiksni žičani polukrug stavlja se mali prsten M kroz koji prolazi još jedna ravna šipka AB (slika 3) koja se ravnomjerno okreće oko tačke A (= t, gdje je = const). Naći zakone kretanja prstena M duž štapa AB i u odnosu na polukrug.
Da bismo riješili prvi dio zadatka, koristit ćemo koordinatnu metodu, usmjeravajući x-os Dekartovog sistema duž štapa i birajući njegovo ishodište u tački A. Pošto je upisan AMS prava linija (na osnovu prečnika ),
x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,
gdje je R polumjer polukruga. Rezultirajući zakon kretanja naziva se harmonijska oscilacija (ova oscilacija će se očigledno nastaviti samo do trenutka kada prsten dosegne tačku A).
Drugi dio zadatka riješit ćemo prirodnom metodom. Odaberemo pozitivan smjer brojanja udaljenosti duž putanje (polukrug AC) u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (slika 3) i nulu koja se poklapa sa tačkom C. Tada će dužina luka SM kao funkcija vremena dati zakon kretanja tačka M
S(t) = R2 = 2Rt,
one. prsten će se kretati jednoliko oko kruga poluprečnika R sa ugaonom brzinom od 2. Kao što je jasno iz ispitivanja,
nula brojanja vremena u oba slučaja odgovarala je trenutku kada je prsten bio u tački C.
2.Vektorska metoda specificiranja kretanja tačke
Brzina tačke je usmerena tangencijalno na putanju (Sl. 2.1) i izračunava se, prema (1.2), koristeći formulu